小时候，我住在近郊。我们小区有个化粪池，有农民定期开了桶车来清理。有一次我和他们聊天，问拉一车粪收多少钱？回答是不收钱。于是我和爸爸有了如下的对话。

我：为啥农民免费为我们清理化粪池？

爸爸：因为他们拿粪去做肥料。

我：啊，那不公平！我们的粪他们就这样拿走了？

爸爸：对我们又没用，而且他们还帮我们解决了处理问题，这是双赢啊。

我：那也不行！粪对他们很值钱，他们应该分些钱给我们！

爸爸：这是物业和他们谈好的条件，双方自愿，没啥不公平的。

几十年后，这样的对话仍然在发生，只不过对象不是粪便，而是当初被称为“数字废气”的用户数据。在上个世纪末互联网开始商业化时，其主流模式就是提供免费服务而用其它方式赚钱。所以那时候“眼球”是最值钱的东西。一开始是简单地吸引点击量然后卖广告。后来通过用户数据赚钱的方式逐渐兴起，而由谷歌的AdWord作为成熟的标志。（AdWord就是根据用户浏览的兴趣来推送相应的广告。）随着人工智能和大数据技术的发展，这种生意模式越来越火，花样也越来越多。其实这也不是网上服务公司的专利。食品店和百货店早就通过折扣卡等方式来收集用户信息，发送针对性广告。（2012年美国百货店塔吉特（Target）根据收集的消费数据给一

我们在电影里常常见到拍卖的镜头：嘈杂的会场里，主持人高声宣布着不断上升的价码，底下报价的牌子此起彼伏。最后大佬出场，全场无声，主持人一锤定音：成交！

这是英格兰式拍卖。除此还有荷兰式拍卖，是从高价往下叫，直到有一个人举牌接受。除了这类公开拍卖外，还有封闭式拍卖：竞标者分别提交报价，互不相通。

让我们来看一个更复杂的拍卖过程——美国５G频谱的竞标。美国通信委员会（FCC）从１９２７年起管理无线电频谱。随后半个多世纪中，频谱许可证是通过申请评估或抽签来分配的。１９９４年，FCC开始通过拍卖来分配频谱。下面就来看看２０１８年５G毫米波频谱的一个例子（称为auction 101）。

这次拍卖是分配28 GHz波段的频段。其中包括两个频道，分为１５３６个地区，所以共有３０７２张许可证。拍卖采取“同时多轮”（Simultaneous Multiple-Round）的形式。在每轮投标中，竞标者通过电脑系统分别对他所中意的所有许可证提交报价。然后主办方宣布每张许可证的赢标价格，作为下一轮报价的起点。赢标者也可以撤回报价，但必须在赢标后两轮之内，而且要支付撤标费。如此，每轮的报价逐步升高，直到无人继续报价方告结束。这次拍卖共有４０位竞标者，在３８天内进行了

黑洞这个概念，对大众都不陌生了。它是一个超高引力场的存在。黑洞周围的引力场如此强大，任何物质包括光都会被捕获而有去无回。而在广义相对论理论里，黑洞是一个带有发散点的特殊解，标志着时空结构的高度扭曲。黑洞的存在很容易想象，但性质却很深奥。所以它成为很多科幻小说里的神器。

但是在物理上提出一个新形态，却要面对两个问题。一个是它在理论上是否可能？第二个是它在现实世界中是否真的存在？２０２０年物理诺贝尔奖，就是发给了回答这两个问题的科学家。

在理论上，黑洞是比较容易理解的。即使在牛顿物理中，也很容易想象一个超重的星体，周围物体即使以光速运动也逃不出它的引力。（当然在经典物理中允许超光速运动的物体，它们还是能逃逸这样的引力场的）。广义相对论提出不久，德国物理学家施瓦西（Schwarzschild）就发现了它的一个独特的解，在中心和某个半径的地方会发散。三十年代，美国物理学家欧本海默（Oppenheimer，后来主持了发展原子弹的曼哈顿计划）和学生指出，在那个有发散的半径内，任何信息（除了引力）都不能逃逸出去。这就是黑洞的概念了。那个半径也被称为视界（event horizon）或施瓦西半径。所以要形成黑洞，就需要它的质量分布在施瓦西半

有惊无险，１月２０日拜登总统就职典礼圆满结束。至此，史无前例的２０２０年大选终于落幕。在全美民众反应中，“常态（normalcy）”绝对是个热词。的确，不仅２０２０年极不寻常，川普当政的四年都是。我们的盼望是：川普是一个例外。现在他走了，我们可以重拾常态，回到正路了。除了年高体衰的卡特总统和拒绝认输的川普总统外，所有健在的前总统（格林顿，布什和奥巴马）都参加了就职典礼。他们还一起在阿灵顿墓地发表讲话支持拜登。这个不平常的举动发出了信号：这三人所代表的美国总统机构将由拜登继承和修复。可以说，在这个日子里，大多数美国国民都觉得松了一口气。噩梦醒来，岁月静好。

然而川普之后，美国真能恢复常态吗？没那么简单。川普是破坏“常态”之黑手，但他又是“常态”的产物。川普不是一个孤立的问题，而是很多问题的症状。他走了，那些问题还在。

1. 新冠的后遗症

目前最迫切的问题，当然就是新冠。美国现在每天都有二十万左右的新病例和两三千人因新冠丧生，而且日常生活和经济活动都严重受阻。美国抗疫如此糟糕川普难辞其责，但并非川普走了，失控的病毒就会乖乖就范。新冠疫情对西方各国目前都是很大挑战，中国那样的成功经验又不可能照抄。虽然疫苗已开发，

今年十月六日，民主党总统候选人拜登发表了演讲，号召反对分裂反对仇恨，维护国家团结。演讲是这样结尾的：“我们能够终结这个分裂的时代。我们能够终结仇恨和恐惧。我们能够成为最好的自己：美利坚合众国。”

如我以前博文所说：川普对美国的三大危害之一就是把仇恨和分裂作为获取政治权力的武器。美国日趋分裂的局面虽非由川普而起，但确实在川普当选和就任后急剧恶化。拜登此时出来号召团结，自然是拨动了很多民众的心弦，特别是他想争取的中间派。所以他的演讲毫无悬念地受到媒体的重视和很多评论员的赞颂。那么他真的能带领全国走向和解愈合吗？

拜登特地把演讲地点选在著名的葛底斯堡，并刻意模仿林肯的演讲风格。他更明确提出：林肯保卫了美国的团结，而他的使命就是保卫林肯的成果。“当代林肯”的人设呼之欲出。

但问题是，林肯是怎样维护美国团结的？拜登演讲中引用了林肯1858年的名言：“分裂的房子必然倒塌”（A house divided could not stand.）但林肯接下去还说，蓄奴与自由这两种体制不可能永久共存，而必定是只有一方统治全国。三年后爆发的内战证明了林肯的远见：要维护房子不倒塌，就得消灭其中的一方。

那么今天，拜登准备怎样解决美国的对立和分裂呢？他说：“我会

2020年大选，应该算是近几十年来最牵动人心的一次，其原因自然事关现任总统川普。对于左派来说，川普不仅人品极坏，而且代表危险的极右势力，包括纳粹残余和白人至上主义；只有打倒川普，美国才有希望实现正义和平等。而对于不少右派人士来说，川普是他们的“斗士”，是他们抵抗左派蚕食、坚持自己理念的最后防线。这两派的立场都极其坚定，甚至双方阵营中各不乏其人，为得到自己希望的结果不惜以动摇美国选举制度为代价（左派提出取消选举人制度，右派质疑邮寄投票公信力）。在此，我想对保守派人士进言：不该选川普的理由，远远高于意识形态。

即便单从意识形态看，川普也非坚定的右派。在文化上，川普虽然与极右势力结盟，但本人并不极端。除了煽动种族主义和排外，川普在传统的左右政争热点如堕胎、LGBT、限制拥枪等议题上，都不比共和党主流更右。而且因为他执行力低下，在这些问题上都只有行政命令没有立法成绩，而行政命令后任总统可以轻易推翻。所以对于左派来说，川普并不是右派能推出的最可怕的总统。

在社会经济问题上，川普对保守派议题的贡献也极其有限。川普当政三年多，其中有两年中共和党在国会两院都占据多数，而川普实现的只有减税（特别是减公司所得税）这一项

在学生时代，我最喜欢物理，因为它特别“干净”。几个物理量通过方程和定律联系在一起，我们（至少在理论上）能把其中的因果关系说得一清二楚，而且这些又能被实验明确地验证。但是后来我慢慢了解到：这种“优美”的研究方式只适用于最简单的系统：基本粒子，原子分子等。到了更大的系统如固体，即使物理学也必须加入唯象理论和各种近似才能搞定了。

到了生物和医学，就更不“干净”了，因为一个生物现象是很多“因”共同作用的结果。要完整地表达其因果关系是不现实的。作为研究者，我们希望分离出其中一个“因”的作用，至少了解这件事的一个侧面。由于其它“因”带来的不确定性，我们不能肯定地说某个“因”一定导致某个“果”，而只能用概率来描述这个因果关系。

这种情况下一个通行的研究方法是分类评定回归（Logistic Regression）。这个方法是通过收集事件样本，从统计上分析各种原因对结论的影响。但这个方法假定了我们知道所有可能的原因而且能针对它们收集数据。如果有未包括在研究中的原因，这个方法就不成立了。前一阵争论亚裔申请大学是否受歧视，其中常常被提到的一个证据就是同样条件下亚裔学生入学需要的SAT成绩比白人高140分，比黑人高450分。这两个数字就是一个多变量回归分析

以前我在贝尔实验室工作时，每有机会都会去看看那个传奇的天线。1964年贝尔实验室的两位射电天文学家威尔逊（Robert Wilson）和潘萨斯（Arno Penzias）（没错，当时贝尔雇佣了两位射电天文学家！）用这台退役的微波天线作为射电望远镜观测银河系的星体。但是他们费尽全力也无法消除的额外噪声，居然是一百三十亿年前宇宙大爆炸留下的痕迹，人称背景辐射，或宇宙微波背景（CMB）。为此他们获得了1978年一半的诺贝尔物理奖。每当我回味这个故事，憧憬贝尔实验室的黄金年代时，我也会不由地想到：为这个噪声提供物理解释的，其实是另外几位普林斯顿大学的物理学家（Robert Dicke教授领导的研究小组 )。但是他们却与诺贝尔奖无缘，未免有点不公平吧。

时间快进五十五年。2019年的物理诺贝尔奖的一半颁发给了那几位个物理学家之一皮部尔斯（James Peebles），表彰他在建立物理宇宙学理论上的贡献。当年他是个博士后，负责关于背景辐射的理论计算。其实不光是宇宙背景的发现，上半个世纪另外两个最重要的宇宙学实验，也与皮部尔斯的理论贡献有关。

虽然大爆炸理论在二十世纪中叶就被提出，但皮部尔斯最早把这个宇宙起源理论与今天的观测结合起来。他提出的理论能根据今天残存的背景辐

2020年的美国总统竞选，大概是二战后史上最特别的一次。这不仅是因为新冠疫情使得竞选活动和投票都与往年不同，而且因为2016年以来非常特别的政治环境。过去四年来，美国政治体制的各方面都面临重大挑战，政治两极化不但非常强烈而且渗透到生活各个方面。今年的选举对于美国的走向有着关键的作用，是毋需多言的。我们都知道民主党在最近十多年来有很多激进的主张，特别是2018年一批年轻民主党议员上任后“向左转”的动静很大。如果这次选出民主党总统，那国家会走向哪里？这是选民们都该关心的问题。

上个星期，民主党全国代表大会结束，正式提名了拜登和哈里斯为候选人团队。虽然拜登从四月初就是事实上的候选人了，但是可能是因为疫情缘故，他的竞选活动非常低调。除了民主党初选时的几次辩论外，大众对拜登的政见其实了解不多。在民主党代表大会上，拜登和哈里斯的讲话也很空泛，没有具体政策宣示。为了更好了解拜登的政见，笔者浏览了拜登竞选网站https://joebiden.com/joes-vision/，其中包括四十几个方面的政策宣示。这篇文章是关于这些材料的一个总结。

总的来说，拜登的政见是传统民主党价值观：帮助穷人和少数民族，“投资”创造工作机会，增加移民，环保和清洁能源，社

2020年1月，在四年一度的美国总统大选开始热身时，美国公共广播电台（PBS）推出了上下两集，共约四个小时的纪录片《美国大分裂》（America’s Great Divide）。这部纪录片的定位是关于美国近十年来政治分裂的历史纪录片，是对川普之兴起的一个解释和探讨。影片播出后，我的知识界朋友中很多人推崇。它的介绍在微信上也流传甚广。人们广泛认为对于美国这段破朔迷离的历史，这部纪录片提供了一个系统和理性的回顾。这个片子的制作者是PBS的“第一线”（Frontline）专栏，“第一线”的自我介绍是“质疑，解释和改变世界的调查新闻”。

基于制作者的性质和这部纪录片的目标，它应该是主流媒体的一个比较客观公正的作品了。所以，本文就分析一下这个纪录片，从中看看主流媒体的所作所为。

这部影片的主体是基于大量的客观资料。除了历史性镜头和以往的访谈视频外，影片制作人还进行了几十个新采访，受访者包括奥巴马幕僚，左，右阵营中的媒体人和作家，以及班农（Steve Bannon）和其他几个川普的顾问。全部的访谈视频都另行公布（https://www.pbs.org/wgbh/frontline/interview-collection/americas-great-divide/ ）。影片从奥巴马2008年竞选开始到2020年弹劾川普案，按时间顺序回朔了美国

2020年是美国的大选年。由于上次（2016年）总统大选结果在全国造成很大争议，今年的大选格外引人注目。当然，对于美国华人来说，今年大选的另一个特点是有一个华裔的民主党竞争者杨安泽（Andrew Yang）。过去一年多来，杨安泽在民主党候选人中从一个无名小辈上升到了第五名【注一】。他的招牌政见就是“全民基本收入”（Universal Basic Income，以下简称UBI）【注二】。

当然在目前看来，杨安泽当选总统的可能性接近于零。他的UBI政见也不可能很快实施。但是，UBI在世界上越来越受到关注是个事实。在美国，金融和科技界大佬如巴菲特，盖兹，马斯克，扎克伯格等人都对这类想法表达过兴趣。关于UBI的重要性，我将在另文中讨论。UBI的基本理念在16世纪就有人提出了，但一直是极具争议。支持者认为UBI是解决收入不平等和贫困问题的有效方式，特别是在如今自动化引起保证就业越来越困难的情况下。反对者认为UBI是极端的收入再分配，对经济发展会造成严重影响。对此我将在今后另文讨论。在本文中，我聚焦于一个争议最大的问题：如何支付UBI带来的巨大经济成本？

UBI讨论的一个重要困难是：属于UBI的方案很多，往往讨论双方针对的是不同的具体选项。例如，在发达国家和贫穷国家实行的UBI

我们都知道，诺贝尔奖是以奖励科学领域的最高成就而著名。“正宗”的诺贝尔奖包括物理，化学，医学，文学与和平奖，是1901年开始颁发的。其中以前三个奖“含金量”最高。而诺贝尔经济奖是1969年开始颁发的，它是由瑞典中央银行的捐款提供的，全称是“瑞典中央银行纪念阿尔弗雷德·诺贝尔经济学奖”。所以，可以说这个经济奖是来蹭科学奖的热度的。

但是2018年的经济奖却充满了科学元素。首先，它褒奖的工作都与科学有关。一个是研究科学研究对经济的推动作用，另一个是在全球气候变化问题上把科学和经济联系在一起。而且，这两个工作的着重点也是科学性的：建立定量的模型。用经济学的语言说：就是将经济外部性模型化。

在讨论政府在市场经济的作用时，一个经常出现的词是“经济外部性”，或简称外部性（Externality）。它是指经济活动给没有参与和控制的第三者造成的利害，例如工厂生产对周围社区造成的环境污染，或者一个大商店对于周围的人气提升。外部性不能通过市场交易来体现和补偿，但会造成经济运作的扭曲，也就是造成对社会非最优的结果。例如，环境污染是一个负面的外部性，污染者给别人带来成本（例如健康损害或农作物产量降低），但不在市场上付出代价。这样大家就没有降低损

2018年的诺贝尔物理学奖发给了美国的阿斯金（Arthur Ashkin），法国的毛罗（Garard Mourou）和加拿大的斯蒂柯兰德（Donna Strickland），表彰他们在激光技术方面做出的贡献。激光领域的工作得奖已经有很多次了。但是这个奖却有不少特别的地方。

通常我们说起激光，其最重要的特点就是高度的单色性和平行性。而这次得奖的两个工作，利用的却是多频率和多方向的激光。而且这两个工作的价值不是关于激光原理，而是将激光用作科学研究的工具。

2018年物理奖表彰了两个工作。一个是阿斯金的“光学镊子”工作。我们在中学物理中都学过，光线在进入和离开介质时会发生折射和反射。在量子层次上说，那就是光子在介质的作用下发生偏转。按照牛顿第三定律，这时候介质也会受到一个反作用力，称为光压。虽然在日常生活中光压通常非常微小可以忽略不计，但当微米级的小球在强力激光照射下时，它受到的光压可以轻松抵消重力。（其实在更大的尺度上光压也有表现。彗星的尾巴就是光压的结果。人们也设想建造巨大的“光帆”来收集来自太阳的光压作为宇宙航行的动力。）

反射引起的光压是把介质球推向光的传播方向。而折射引起的光压的结果是把介质球推向光场更强的地方。所以如果有一个光场分布是中间

杨安泽，作为美国最近半个世纪以来第一位华裔总统候选人（在此以前邝友良曾在1964年和1968年参选），现在对美国华人来说应该不是陌生的名字了。按照竞选的传统，他在2018年推出了《对普通人的战争》（“The War on Normal People”）这本书作为他的竞选宣言。虽然杨安泽在民主党竞选人中的排名还是很靠后，这本书却引起了很大重视。我们的社区图书馆收藏了六本（目前只有两本没有借出），我们大学图书馆也有收藏。很多主流媒体如《华尔街日报》和《纽约时报》在2018年（当时杨在竞选中还是无名小卒）发表了书评。虽然那些书评都着重讨论杨的招牌政见：无条件基本收入（Unconditional Basic Income，缩写 UBI），但说这本书引起了全国范围的注意应该不算过分。

按照竞选宣言书的套路，作者应该首先提出一个或几个严重而急迫的社会问题，然后提出自己的解决方案。《对普通人的战争》提出的问题是自动化带来的工作机会消失和由此引发的贫富差距。作为熟悉高科技发展的“圈内人”，杨安泽以大量的数据和例子阐述自动化对今天工作机会的威胁。在过去几百年历史里，技术发展导致工作局势改变有很多次。但都没有引起不可解决的社会危机。今天我们不论是工作的人数还是工作的时间都比过去

我还记得十年前读到《怪诞行为学》（Predictably Irrational by Dan Ariely）时那种“脑洞大开”的感觉。基于那本书我写了好几篇博文。我的孩子也把它列为最喜欢的书之一。现在，“行为经济学”已经不仅是学术概念，而是家喻户晓了。2017年的诺贝尔经济学奖又发给了一位行为经济学的领军者赛勒（Richard Thaler），表彰他在过去四十年中对行为经济学发展的关键贡献。

其实行为经济学可以追索到上世纪五十年代的工作。它是关于经济活动中的决策过程的研究。经典经济学认为，人的决策都是理性的，旨在将自己的效用函数（utility function）最大化。所以说，经济学把人抽象为纯理性的“经济人”（homo economicus）。然而，后来种种研究发现人的行为偏离这个理性模型。这种偏离不是随机而是系统性的。所以就有必要在经济学中考虑到人的“非理性行为”，而不是将其当噪声处理。这就是行为经济学的基础。在赛勒之前，诺贝尔经济奖已有至少五次颁给行为经济学工作。最近的一次是2013年关于资产定价，其中包括席勒（Robert Shiller）关于市场非理性行为的研究。2002年的得奖者之一卡尼曼（Daniel Kahnaman）还写过一本通俗读物《思考，快与慢》(Thinking, Fast and Slow by Daniel Kahnaman, 2

引力波是广义相对论中的一个推论。广义相对论是物理中一个相当艰深的题目，一般物理学博士生都很少涉及。但是引力波的概念对公众并不陌生。在引力波被成功探测而且得到诺贝尔奖之后，更是有大量科普文章介绍其中有趣的物理。

但是有一个比较少讨论到的问题是：为什么引力波的概念早就为人所知，它的“本尊”却直到现在才露面？事实上，爱因斯坦在发表广义相对论之后就预言了引力波。但他却认为那是不可能被探测到的。这是因为引力波是如此之弱，探测引力波的困难程度难以想象。所以这三位科学家代表的工作不仅在科学上有着重大意义，也

“合同精神”（或称契约精神）是现代社会的重要支柱。在合同精神下，社会各成员之间的合作不是依赖于各人的善意，而是预先制定好的规则。从某种意义上说，不光经济活动，就是民主政体也是一种“合同”：为了社会的有效运作，人民把本来属于自己的一些权利“外包”给政府。而政府需要依照合同履行职责，否则人民可以收回那些权利。而法制就是各种合同得以实施的保障。

既然合同在社会运行中不可或缺，如何制定好的合同就很重要了。在经济学中，这被称为“合同理论”（contract theory）。2016年的诺贝尔经济学奖，就是表彰哈特（Oliver Hart）和霍姆斯特罗姆（Bengt Holmström）在合同理论中的贡献。这两人分别是哈佛大学和麻省理工学院的经济学教授。

经济活动中的合同主要有两部分内容。一个是规范各参与者的行为，以便得到最大的总收入。另一个是如何分配这个收入。对前者，我们的目标是收入最大化（效率）。对后者，我们的目标是分配的公平性。这里要介绍的两个得奖工作都是关于效率的。他们也考虑如何分配收入，但重点是分配方式对于各方面行为的影响，而不是分配的公平程度。【注一】

×××怎样设计报酬来激发工人动力？×××

霍姆斯特罗姆的开创性贡献是从1979年起，他的一系列工作

“一个国家怎样才能强盛”和“一个人怎样才能健康”一样，是千古难题。人类不停地提出各种理论和理念，但我们都知道真正的答案还很遥远。在古代，人们相信国家的兴亡在于天象，在于神助，或在于统治者的德行睿智。在冷战期间，意识形态是分水岭。取决于你的教育，你会认为两大阵营中的一方代表了兴盛之道而另一方必然灭亡。然而冷战结束后，人们发现世界原来要复杂得多。“民主”并非国家兴盛的灵丹妙药：有很多民主制度的国家陷于长期的经济低迷发展乏力，甚至陷入内战动乱；而有些专制国家却呈现经济高速发展的局面。于是，其它种种理论相继出现。有人认为地缘地理是最重要的因素：自然资源和国际政治大势决定了国家的命运。也有人认为文化和民族性是最根本的：勤劳和聪明程度是一个族群不可改变的基因。经济学家们认为，国家兴盛的关键是正确的发展战略，于是各种顾问和国际机构试图指点发展中国家，提供快速发展的“独门秘籍”。这些说法都有一定道理也有一定的事实来支持。但它们也面临很多反例的挑战。本文要介绍的，是关于国家兴盛之道的另一种说法。

阿西莫格鲁（Daron Acemoğlu）是土耳其出生的美国经济学家，MIT讲席教授。他以研究发展经济学和殖民主义对经济的影

在世界上有这样一组国家，虽然总人口只有两千七百万（相当于一个大型城市），但却是不可否认的“大国”，因为他们向全世界输出着价值观。据说那里是人间乐园：政府照顾着所有公民的生老病死。人民平等无忧， 国家经济发达，社会安定和谐。他们的今天就是全世界的明天。

我说的不是苏联或东欧某个地区，而是地处波罗的海周围的“北欧五国”(Nordic Countries)：丹麦，芬兰，冰岛，挪威和瑞典。它们有着类似的社会模式，人称“北欧模式”（Nordic model）。北欧模式这个概念是1930年代首次提出的，特指北欧国家在社会公义与经济活力之间取平衡的发展道路。它一直受到西方左派包括罗斯福总统的青睐，更在冷战期间被看作是社会主义和资本主义之外的“第三条道路”。在2016年美国大选中，民主党竞争者桑德斯还把北欧模式作为他政见的蓝本。除了国际友人的推崇，北欧国家自己也大力宣传北欧模式，北欧的学者出了很多这方面的书，报刊文章很是汗牛充栋了。

所谓北欧模式，其实包括很多内容。除了社会和国家运行的理念，还有教育，文化，艺术，环保等等。所以要想了解和评论北欧模式不是一件容易的事。好在最近的一本畅销书提供了一些比较具体的理念，有助于我们展开讨论。

这本书的作者帕塔嫩（A

当你站在小溪边看着水流在桥桩下，卵石边的漩涡时，有没有觉得那是一个很特别的东西？

在今天的科学技术水平下，我们对溪中的水流可以说是了解得很透彻了。水流可以看成是无数微小的水“质粒”在经典力学下相互作用，并受着河床和引力的影响而运动。如果我们愿意，我们可以用计算机模拟来重现任何水流的状况，包括漩涡。

但问题是：这样就算了解了漩涡了吗？从微观上来看，水流的速度分布，质量分布在不同小溪中可以说是全然不同，在同一个地方也一直在变化中。但是漩涡就是漩涡，我们不会把它认作别的东西。而且即使你在水里扔块大石头，水流分布肯定是有了很大变化，但那个漩涡仍然存在。是什么原因使得“漩涡”这种东西如此普遍和稳定呢？

如果我们标出漩涡附近各点的水流速度，我们会得到类似于下图的结果。我们一眼就能看出，这个图里有两个漩涡，左面的是逆时针方向，右面的是顺时针。想象一下我们把这张图印在一块橡胶膜上。不管你怎么拉扯让膜变形，我们还是能认出这两个漩涡。那么你怎样让计算机来认出它们呢？

图一：漩涡附近的速度场（部分复制自https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_field）

一个办法是考察沿着一个封闭路径的速度方向变化。在图中找一个没有