最近《紐約時報》發表了一篇長篇評論，題目是《必須學代數嗎？》（http://www.nytimes.com/2012/07/29/opinion/sunday/is-algebra-necessary.html?pagewanted=all，中文翻譯可見 http://cn.nytimes.com/article/opinion/2012/08/08/c08algebra/ ）作者認為中學數學太難學，致使許多學生輟學。而在現實社會中，代數以上的數學用到很少，而大多只是許多職業執照或入學的“門檻”。所以他認為，中學不應把代數作為必修課，而應該多教些更實用的知識。 先說句題外話。該文的作者海克（Andrew Hacker）是紐約皇后學院的政治學榮譽退休教授。他自稱對數學是很精通的。但從這篇文章看，我覺得他的數學訓練就頗有改善的空間。海克在陳述中的確用了不少統計和數字，但卻沒有堅韌的邏輯貫穿其中。那些所謂的“證據”只是為了製造“印象”而不是支持觀點。更有趣的是，海克提出一個“實用數學”的例子：去了解通貨膨脹指數（CPI）的算法。實際上，看一下有關文獻就知道，CPI的算法遠非一個簡單的問題。目前存在着多種算法，每種都有背後的論證和數據支持。這些算法得出不同的通脹指數，從而影響到很多社會經濟問題的結論。不懂代數的人也許能了解算法本身，但不可能比較各種算法的優劣來選擇最適合自己問題的一種。可見，即使政治學教授，在數學上也是學無止境的。 好了，咱們言歸正傳。不出所料，海克的文章招來了大批反對意見（用該文題目搜尋一下便知）。大多數人認為，中學數學不僅是一門知識和技能，更是對於邏輯思維和抽象思維的訓練，是任何人的基本訓練中必需的部分。那麼中學數學究竟是無謂的負擔，還是必需的基本訓練呢？ 我的回答是：兩者都對。中學數學的確是對於思維方法的重要訓練，而且美國人，包括大眾和專業人士，都可以得益於更多訓練。我曾在美國一所一流大學中旁聽過新生經濟學課。在學習“邊際收益等概念時，我對教授為了避開微積分而費的口舌深感同情。但另一方面，目前公立中小學的數學教育並未達到訓練思維方法的目的。根據我自己孩子讀書的經驗和在中文學校教初中，高中競賽數學的體會，我覺得美國中小學數學教育至少有以下三個問題。 首先，數學被教成割裂的概念。一般一個概念只在一個季度中涵蓋。在季度測驗後，就很少重新出現了。所以大多數孩子學數學好像熊瞎子撿棒子，邊檢邊丟。而且學的時候也不知道為什麼要學，以後有什麼用，更是興趣缺缺。最好的情況下，就算記住了所有學過的概念，也只是串成一條線而不是通過交叉聯接變成一張網。這樣一旦一個概念忘記了，就無法通過相關知識來恢復。相比中國，每年期末考試前有總複習，中學後期還有準備高考的複習時期。這樣學生會多次接觸同一個概念，特別是學了後面的知識後重新審視前面的，就容易有新的領悟和新的聯想。 第二，美國數學教育雖然也講證明，也要求學生解題要寫過程，但對此並不重視。州里統考，SAT甚至很多數學競賽都是只要求答數，不要求過程。這樣學生就沒有養成嚴格審視自己解題根據的習慣，更不會用批評的眼光去看別人的工作。這對訓練思維方法是很大的遺憾。即使拿數學本身來說，只學定理不管證明也不是好辦法。不僅定理忘了時無法自己推導出來，而且不容易領會不同知識之間的聯繫。例如我接觸的初中高中學生，極少有人還知道一元二次方程的解是怎樣推導出的。這樣他們就不知道“湊平方”這個普遍性很強的方法，更不會把一元二次方程的解與二次函數的極值問題聯繫起來。 第三，美國數學課堂練習和作業題都很死板。只要你掌握了知識，根據老師例題依葫蘆畫瓢，就能按部就班做出。學生沒有嘗試各種方法甚至發明自己解法的經驗。據說有人對美國名牌大學的學生作過調查，問他們對一道數學題嘗試多久後會認為“太難”而放棄。平均的答案是五分鐘。這在中國人看來是懶惰，缺乏執着的表現。其實了解美國教育後會發現這很自然。以他們的訓練，五分鐘內想不出解法的話，接下去也沒什麼招數可以再試了。這種教法給學生的印象是：數學就是一套死板的解題技術步驟。如果生活中不需要解書本上那些題，這些技術就毫無用處。 所以在我看來，美國的中小學數學，至少在公立學校，是有很多不足的。難怪連堂堂大教授也認為數學沒有用。並非數學不該學，而是學得不得法罷了。那麼我們華人家長要彌補這些缺點，可以做些什麼呢？以下是我的一些建議。具體的做法信息，網上各種子女教育論壇中有很多，我就不重複了。網友願意繼續交流的，我也歡迎。 最低層次上，可以多做些題。要綜合題，而且要寫出解題過程。當然要系統重做一遍中學數學題，孩子和家長都要花巨大努力。但即使只做一部分（例如每周兩三小時，堅持一年），也有很大收益。可以讓孩子懂得對自己應該有怎樣的要求。 對於課堂學習覺得輕鬆的孩子，可以參加各種數學競賽。美國的數學競賽絕大多數是由學校組織參加的。但如果學校不支持的話，自己也能想辦法參加。如中學的Mathcount可以自己組織個人或小組，以學校的名義參加，只要跟校長打個招呼，別與其他小組衝突就行了（因為每個學校有人數限制）。高中的American Math Competitions (AMC)是在學校考試的。但也有大學教授提供個別學生參賽的考場，可以到美國數學會的網站上去找。即使不參加，用那些競賽的考古題（通常帶答案和解法）做練習也很不錯。這樣可以把不同時間學的知識串起來，也訓練自己解題能力。做通那些競賽題，對思維訓練大有好處。 在美國學校的文化中，喜歡數學的孩子常被看作異類而孤立。所以讓這些孩子找到“同志”也是很重要的。美國有幾個專門教授數學的夏令營，要通過考試和老師推薦才能加入。平時也有網上的數學課，附帶有討論園地。孩子參加這類活動不僅能學到知識開闊視野，還能交到志同道合的朋友，相互切磋競爭，把學數學和社交結合起來。 許多華人家長對有數學才能的孩子往往採用“超前學習”的方法。我覺得這方面要慎重。小時候超前是好事，因為知識不到一定程度，其他都談不上。但到了進高中前後，就不能一概而論了。我覺得微積分之類，通過在物理中的應用會更容易理解。如果只是抽象地學，容易發生一知半解的情形，除非教的人特別有經驗。另一方面，初等數學裡可以加深，拓廣的地方也很多。幾何本身就是無止境的。代數中的三角，複數等課堂上教的也極其有限。在這些地方引導學有餘力的孩子去開拓自學，也許比向前趕路更有得益。當然，這些都要看孩子自己的興趣和能力，不必與別人攀比。 人生一世所需知識，從學校學的只是極少數而已。而學校最重要的是培養能力：溝通能力，思考能力和自學能力。而數學至少對思考能力和自學能力都有很高價值。咱們華人家長，自身數理基礎就強，利用這個優勢幫助孩子也就是順理成章的了。至於美國學校，“放棄數學”只是少數人說法，不必多慮。但如何改善數學教育，讓學生真正悟到數學真諦，卻是任重道遠。在這個問題上，咱們華人是否能做出超越自己子女的貢獻，也是值得深思的問題。 |
