我們在電影裡常常見到拍賣的鏡頭：嘈雜的會場裡，主持人高聲宣布着不斷上升的價碼，底下報價的牌子此起彼伏。最後大佬出場，全場無聲，主持人一錘定音：成交！

這是英格蘭式拍賣。除此還有荷蘭式拍賣，是從高價往下叫，直到有一個人舉牌接受。除了這類公開拍賣外，還有封閉式拍賣：競標者分別提交報價，互不相通。

讓我們來看一個更複雜的拍賣過程——美國５G頻譜的競標。美國通信委員會（FCC）從１９２７年起管理無線電頻譜。隨後半個多世紀中，頻譜許可證是通過申請評估或抽籤來分配的。１９９４年，FCC開始通過拍賣來分配頻譜。下面就來看看２０１８年５G毫米波頻譜的一個例子（稱為auction 101）。

這次拍賣是分配28 GHz波段的頻段。其中包括兩個頻道，分為１５３６個地區，所以共有３０７２張許可證。拍賣採取“同時多輪”（Simultaneous Multiple-Round）的形式。在每輪投標中，競標者通過電腦系統分別對他所中意的所有許可證提交報價。然後主辦方宣布每張許可證的贏標價格，作為下一輪報價的起點。贏標者也可以撤回報價，但必須在贏標後兩輪之內，而且要支付撤標費。如此，每輪的報價逐步升高，直到無人繼續報價方告結束。這次拍賣共有４０位競標者，在３８天內進行了１７６輪報價。最終FCC得到了七億美元的拍賣收入。

為什麼頻譜拍賣要如此複雜，而不對每張許可證採取“英格蘭式拍賣”直接搞定呢？這就是２０２０年諾貝爾經濟學獎所表彰的研究內容了。

經濟學的基礎知識告訴我們，通常市場價格是由供需關係決定的。也就是說，在那個價格點，賣方的供應量和買方的需求量達到平衡。這是宏觀上說的。實際上，總有一部分買家其實願意出更高價錢購買。所以他們占了便宜。賣家也有占便宜的，因為有些人其實願意接受更低的價格。這兩部分便宜加起來，就是“總剩餘”（total surplus），也就是交易對經濟帶來的好處。一個市場運行得好，總剩餘就能達到最大值。

而拍賣面對的情況是：供給量是固定的（例如只有這一張達芬奇的畫，或者只有這幾張頻譜許可證）。這時候市場的目的就是它分配到能實現最大價值的買家手裡。而買家的報價，就體現了他們認為自己能實現的價值。所以拍賣實際上是一個通過收集信息來實現資源最佳分配的過程。（還有“反向拍賣”，是多個賣家競爭一個買家。但其道理是一樣的。）

買家的價值可以完全是個人化的。它也許是個人喜好（例如對一瓶酒的評估）或是商業條件（例如對一個頻譜許可證的使用方式）。一個人的估價與其它競標者無關，所以稱為私人價值。這時候的報價策略就簡單了：只要把報價控制在自己的估價以下，就不會吃虧。

但很多時候估價里還有公共的部分。例如買房子，不僅有我的個人偏好，也要考慮以後賣出時的回報（即市場價格）。如果是買油田，那不僅要考慮是否適合於我的開採技術，也要考慮它到底有多少存油。房子的市場價格和油田的存油量，對所有買家的價值都是一樣的，所以稱為公共價值。但是各人對它的信息都不完整，所以估計不一樣。拍賣種最高出價的贏者，往往是對公共價值估計偏高的。這個現象被稱為“贏者詛咒”。所以理性的競標者就會讓報價低於自己的估價，免得吃虧。這樣就減少了賣家的得益。

２０２０年諾貝經濟獎的得獎者威爾遜（Robert B. Wilson）和米爾格隆（Paul Milgrom）是“贏者詛咒”現象研究的開創者。在１９６９年，威爾遜用博弈論模型定量地解釋了“贏者詛咒”的現象以及競標者因此壓低價格的策略。到１９８１年，他的學生米爾格隆進一步分析了私人價值與公共價值並存時的拍賣現象。他們的一個重要發現是：當競標者獲取更多信息時，他們對於“贏者詛咒”的恐懼就會減輕，也就更願意出高價。關於“公共價值”的信息可以在拍賣過程本身得到。例如在英格蘭式拍賣中，可以觀察到其它競標者的行為，從而判斷他們對公共價值的估計。賣家也可以提供可信的物品信息（如第三方評估等）。這些都有助於提高拍賣的價格。

其實這個“贏者詛咒”問題是“信息不對稱”（２００１年諾貝爾經濟獎）的一個特例。通常我們會認為，如果交易雙方信息量不等，那肯定是信息量少的一方吃虧，甚至會上當。但缺信息的人不見得缺智力。他知道自己信息不足會吃虧，就會格外壓價甚至不參與交易。結果就是市場運行受阻。所以讓信息在交易中有效傳遞，對雙方都有好處。

回到拍賣問題來。比贏者詛咒更複雜的是多物品的拍賣。有時候物品是一樣的，但競標者可以對不同數量報價，如在電力市場和農產品市場。這時候競標者就會擔心如果現在按估價出價，會把拍賣價格抬得太高影響後續的購買。這裡面的博弈就更有趣了。

另一種情況是不一樣但相關的物品。最著名的例子就是頻譜拍賣了。對無線運營商來說，同一地區的頻道可能是替代性的：我有了這一個就不需要那一個了。而相鄰地區的頻道則是互補的：我只有在所有地區都擁有頻道才能推出服務。這時候如果對每件物品分別投標的話，就有買重或買漏的顧慮。雖然理論上拍賣是分配頻譜最有效率的方式，但世界各國都遲遲沒有實行，其主要原因就是這個相關性問題不能解決。

在１９９３年，威爾遜和米爾格隆受一個電話公司的委託去研究頻譜拍賣問題。他們發明了本文開頭提到的“同時多輪”拍賣方式，在１９９４年美國FCC的拍賣中取得了巨大成功，其它國家也紛紛仿效。它的訣竅就是“多輪”，這樣投標者可以不斷得到關於其它賣家報價的信息，不但可以避免“贏者詛咒”，也可以實時評估自己想要的頻道組合的成本，從而及時調整報價策略。例如如果有一個地區的報價已經特別高，而我的商業計劃中又缺之不可，那我乾脆就退出整個拍賣了。

但是多輪也有一個問題，就是前面幾輪的報價對我沒有好處，只是給競爭對手提供了信息。所以我最好的策略是先不報價，到接近塵埃落定的時候再出手。但如果大家都那樣想，拍賣就做不下去了。於是威爾遜和米爾格隆加了一個“最低活躍度”的要求。對於每張許可證，競標者必須維持一定的出價頻度，否則就退出競爭。而這個最低活躍度的設定也很有講究，既要保證拍賣的進度，又要給競標者足夠的自由度。

然後在拍賣過程中，又發現了一個漏洞：雖然拍賣規定中禁止競標者串通，但他們可以利用出價來互通信息。例如，如果我某次的出價是７６，４６１，５２５元，就是暗示其它競標者：我對編號５２５的許可證感興趣，你們別跟我爭。所以他們又改了規則：出價不能自己定數字，而只能在規定的十個選項中選。

多輪拍賣解決了多物品互補的問題，讓投標者能按照自己希望的組合來決定出價策略。但在頻譜拍賣中還有“替代”的問題：在一個地區，同一個頻段的各個頻道對我價值差別不大，我只要拿到其中一個就行了。但是在相鄰地區中，我希望拿到同樣的頻道。在多輪拍賣中，實現這個目標比較困難。於是米爾格隆又發明了另一種拍賣方法——向上叫價時鐘拍賣（ascending clock auction）。這種方法用在了２０１８年的另一個案例上。

那也是FCC分配５G毫米段頻譜（24 GHz波段）的拍賣（稱為auction 102）。這個波段被分為兩個子波段，分別有２個和５個頻道。再把全國分割成４１６個地區，就共有２９１２個許可證。因為同一個地區的７個頻道有一定的替代性，這個拍賣就相當複雜。

具體的拍賣方式是分成兩輪。第一輪着重解決替代性問題。競標者出價時只報在每個地區願購頻道的數量但不指定具體頻道。這樣FCC就能確定每個地區的頻道價格來保證所有許可證都能賣出去。第二輪再決定怎樣分配具體的頻道。這時，每個競標者提出自己想要的各種地區和頻道的組合和願意為每種組合支付的附加價格。拍賣方收到所有提案後再做出最優分配方案，儘量滿足各家需要，同時自己又得到最高回報。

其實多物品拍賣還有其它很多案例，每個都有獨特的挑戰和解決方案。所以目前來說，一個拍賣的好壞還是要靠設計者的“功力”決定。

拍賣理論和博弈論有着密切的聯繫。競標者之間，競標者和拍賣方之間都可以有複雜的博弈關係。所以２０２０年諾貝爾獎的工作對於博弈論本身，特別是在信息不完整情形下的博弈，也是重大貢獻。一個好的拍賣系統，應該能簡化競標者的決策過程。所以拍賣系統最好具備“占優策略（dominant strategy）”（一個博弈者“以不變應萬變”的絕對最優策略）和“納什平衡（Nash Equilibrium）”（所有博弈者之間“誰變誰吃虧”的最優策略組合）這樣的性質。這些也是這兩位得獎者的一個研究重點。

當然，這裡說的都是專業人士和機構之間的拍賣交易，大家都基於理性計算。而我們熟悉的藝術品拍賣，慈善籌款拍賣等並不是這樣。對於這種非專業的拍賣，情緒，人際關係等都是重要因素，營造氣氛也很有講究。那就是行為經濟學（２０１７年諾貝爾經濟獎）的研究內容了。例如對於“贏者詛咒”現象，行為經濟學也有自己的解釋。這些就不在本文所談的範圍。

其實，我們社會中很多交易都是拍賣的一種。例如股票市場，做市商（market maker）同時對賣方和買方報價，讓雙方的需求量得到匹配。這其實也是一種拍賣。拍賣的原理還可以用到其它不涉及金錢交易的地方，如求職者與雇主之間，器官捐獻者與受益者之間等的配對。

說到配對，就聯想到２０１２年諾貝爾經濟獎得主羅斯（Alvin E. Roth）。他是研究市場機制的，其中也包括配對理論。而羅斯也是威爾遜的學生，現在是斯坦福大學的教授。所以同在一校的威爾遜，羅斯和米爾格隆組成了師生、同事“夢之隊”。這背後，或許也有尚未發現的“配對理論”加持呢。