把美国前国防部长姆斯菲尔德与数学家哥德尔扯在一起，可能会让人产生云山雾罩的感觉。唐纳德－拉姆斯菲尔德（Donald Rumsfeld）曾经两次（福特政府和小布什政府）出任美国国防部长。 在没有能够发现伊拉克存在大规模杀伤性武器的任何证据之后，拉姆斯菲尔德对小布什政府发动伊拉克战争的理由做了如下辩解： “There are known knowns. These are things we know that we know. There are known unknowns. That is to say, there are things that we know we don't know. But there are also unknown unknowns. There are things we don't know we don't know.” 翻译成中文，大意是“我们有已知的已知，已知的未知，我们更有未知的未知。” 在很多政界人士看来，拉姆斯菲尔德的说法显然是一种诡辩。但是后来人们却意识到了这句话的哲学意义。拉姆斯菲尔德关于人类知识的本体分类其实是正确的。 关于“未知的未知”的一个最佳例子，莫过于哥德尔的非完备性定理。 在哥德尔之前，人们对于证明一个数学猜想的理解，一般无外乎是两种情况。一是证实，即证明猜想成立。二是证伪，即证明猜想不成立。换言之，一切数学问题都属于“已知的未知。”证明一个猜想的正确性，相当于把已知的未知，变成已知的已知。也就是把猜想上升为定理。这种乐观主义思想的典型代表是希尔伯特。这也是他提出的二十三个千年数学问题的自信心所在。因为在他的这些问题中，并没有包括证明数学体系本身的完备性这一问题。 所谓完备性，简单地说，就是根据现有的公理体系，原则上不存在即不可被证实又不可被证伪的猜想。打个比方，如果把数学体系比作一张特殊的渔网的话。那么公理就相当于“纲”，定理就相当于“目。”猜想就相当于“鱼。”完备性的意思，相当于“法网恢恢，疏而不漏。”即不存在漏网之鱼的可能性。这个特殊渔网有这样一个特性，新捞上来的真鱼（被证实的猜想）则自动成为新的目（定理）。 哥德尔非完备性定理指出，对于任何一个数学猜想，除了可证实性和可证伪性之外，还存在着第三种可能，也就是不可证性。也就是说，现有数学体系这张“网”的纲（公理）是不够用的，因而的确存在着漏网之鱼。 对于哥德尔之前的数学家来说，不可证明的猜想便是“未知的未知。”即，人们还不知道存在着不可证的猜想。本质上说，一切不可证的猜想，如果它真的是正确的，那么它就应当是公理。例如按照这个道理，如果直接把黎曼猜想上升为公理，那么建立在黎曼猜想的正确性基础上的另外一百多个子命题，就都可以正是升格为定理了。这种公理体系的不断补充性，正是数学所应当具备的本质特征。从公理的主观性上说，交换律（A+B=B+A)与黎曼猜想并无差别。到此为止，看出哥德尔的厉害了吧。 非完备性定理的数学意义在于改变了人类对数学真理的本质的认识。例如按照传统观点，虽然哥德巴赫猜想也存在着永远无法解决的可能性，但这仅仅是一个困难度问题。按照“世上无难事，只要肯登攀”的精神，只要假以时日，哥德巴赫猜想是迟早可以被解决的。但是按照哥德尔非完备性定理，这不一定仅仅是一个“度”的问题，像哥德巴赫猜想和黎曼猜想，很可能具有本质上的不可证性。 按照传统科学哲学观点，与其他科学诸如物理学，社会科学，宗教，价值观等一样。数学真理的本质。同样也是建立在信仰基础上的。但是，作为知识的基础，这种不证自明性并不能否认可知论。 哥德尔工作的哲学意义之一，在于部分否定了可知论。也就是说，人类将永远无法知道宇宙的全部奥秘。除非把一部分作为永远的上帝接受下来。
|
