天道運數：生命之數（一）

雨斤

諸葛亮曾言：“天道常變易，運數杳難尋”。

洒家今兒個一時興起，就來幫大家尋找一個“天道運數”。

物理，化學裡有很多著名的常數，但那些都是帶有單位的。比如，萬有引力常數g，聲速s，光速c，阿伏伽德羅常數NA，等等。因此，這些稱為“常量”更合適。如果單位變了，“常量”的數值也隨之改變。

數學裡的常數，那才是真正的“常數”。它沒有單位，所以永遠不變。比如，圓周率: π= 3.14159265358979...。

洒家今天要侃的這個天道運數，名叫“生命之數”，西人謂之"歐拉常數"：

e＝2.7182818284590452353602874713527 (and forever more ...)

為什麼說它是生命之數呢？因為它是用來描述宇宙萬物生命繁殖現象的規律的。這也是為什麼用它做底的對數ln(x)，叫“自然對數”。道法自然麼！

為了淺顯易懂，存款利息的計算，就很能說明問題。

假定P是存款本金，r是年利率，n是一年付息的次數，頭一次付息後的餘額為：

V = P(1 + r/n)

第二次付息後餘額為：

V = P(1 + r/n)^2

一年後餘額為：

V = P(1+r/n)^n

當你把一年內付息的次數不斷增大，一月一次，一天一次，一小時一次，一秒一次，讓n趨於無窮大，也就是“連續”付息時，一年的餘額為：

V = Pe^r

你看，此時的餘額已經與付息次數無關了，只與本金和利率有關。原因就是微積分里這個著名的極限：

錢生錢的道理，其實和生物繁殖是一個道理。用數學模式來描述任何有生命的物種的繁衍規律時，都離不開這個“生命之數” -- e ! 

生物學家和經濟學家對e這個符號絕不陌生。何故？生物學研究的是細胞生細胞的事兒，而經濟學則研究的是錢生錢的事兒。

順帶指出，e還是個超越數。也就是說，任何代數運算產生不了它。

學過微積分的人都知道，這個數字，以及用它做底的對數函數，和用它做底的指數函數，在微積分里無處不在，如影相隨。更為神奇的是, e^x的導數，竟然是自身。而且僅此一例。這說明人口學家早就提出的理論是對的：人口呈指數增長；人口增長的速度，和人口增長速度的速度，也就是通常人們所說的加速度，一樣快。

德國數學家克朗涅克爾曾言：“上帝製造出了整數，其餘（數字）均為人造。”看來，他此言差矣。誰敢說，圓周率和歐拉常數是人造的？

不過，這話說起來容易，做（嚴格證明）起來難！

證明一個數字是超越數，可不是一件容易的事情。事實上，僅僅證明世上還有超越數存在，都不容易。

1844年，法國人路易威爾首次證明世上有超越數存在。

1873年，額米特證明e是個超越數。

1882年，林德曼證明圓周率pi，也是個超越數。

1874年，集合論的創始人康托證明，代數數（非超越數）是可數的。也就是說，超越數比代數數多的海了去了！一切代數數的個數僅是Aleph-0，而全部超越數的個數是2^{Aleph-0}.

看不明白的看官，慢慢看，別着急。莊子曰：“真人之息以踵，眾人之息以喉。”功夫到了，自然就懂了。