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  饭饱生余事时常发呆立钩无饵三尺悬过直伤人,酒酣发癫狂偶尔抽风渭水有岸一愚顽太真伤己。
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害人不浅的老费 2020-03-10 15:21:25

偷懒的老费害人不浅

雨斤

看官您肯定知道勾股定理:

a+ b2 = c2

数学家们把满足这种不定方程的一组正整数,叫"勾股数"。所以,(3,4,5)就是一组勾股数。勾股数还有很多,比如:

12 13

24 25

15 17

40 41

11 60 61

12 35 37

13 84 85

………………

比勾股定理更广泛的,是丢番图方程。

丢番图方程是指有一个或者几个变量的整系数方程,而且它们的求解仅仅在正整数范围内进行。 丢番图方程属于数学里的不定方程的一种。公元3世纪的古希腊数学家丢番图,最先开始研究这种不定方程,所以称为丢番图方程。丢番图和三国诸葛亮是同时代的人。

本文要侃的这位主人公,名叫费玛,法国人。他是个律师,但业余时间对数学也很感兴趣。

800px-Diophantus-II-8-Fermat.jpg

丢番图著作《算术》第11卷第8命题

1637年的一天,他闲来无事,就随手打开一本丢番图的著作《算术》的拉丁文译本,一边抽烟斗,一边阅读。忽然,他若有所思,来了灵感。于是,提笔在丢番图的书的第11卷第8命题旁的空白处写道:“将一个立方数分成两个立方数之和,或一个四次幂分成两个四次幂之和,或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和,这是不可能的。关于此命题,我确信我发现了一种美妙的证法,可惜这里的空白处太小,写不下。

注意,1637年是什么概念呢?此时,徐光启刚刚去世了三年。短短七年后的1644年,崇祯就把自己在煤山上挂了。

这就是困扰了全世界的数学家们长达整整358年的费马大定理:当整数n>2时,不定方程

x+ y= zn

没有满足 xyz ≠ 0 的正整数解。

尽管费马吹牛,他已找到一个精妙的证明,而页边没有足够的页面写下,但仍然经过数学家们三个半世纪的努力,猜想才变成了定理。在冲击这个数论世纪难题的过程中,无论是不完全的证明、错误的证明、还是最后完整的证明,都给数学界带来很大的影响;很多著名的数学结果、甚至数学分支都在这个过程中诞生了。比如,包括代数几何中的椭圆曲线和模形式,以及伽罗瓦理论和赫克代数等。这也令人怀疑当初费马是否真的找到了正确证明。而安德鲁·怀尔斯由于成功证明此定理,获得了包括阿贝尔奖在内的数十个奖项。

费马大定理提出之后的二百年内,对很多不同的特定值的n,费马大定理被证明了。但对于一般情况,人们仍一筹莫展。

1639年,费马自己证明了n=4的情形。

1770年,欧拉证明了n=3时定理成立。

1825年,高斯和热尔曼同时独立地证明了n=5成立。

1908年,德国人保罗·弗里德里希·沃尔夫斯凯尔宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内,第一个证明该定理的人,吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。在一战之后,马克大幅贬值,该奖金的吸引力也大幅下降。

1983年,格尔德·法尔廷斯证明了莫德尔猜想。作为推论,对于给定的整数n>2,至多存在有限组互素的a,b,c使得 a+ b= cn

1986年,格哈德·弗赖(Gerhard Frey)提出了“ε-猜想”:若存在a,b,c使得 a+ b= cn,即如果费马大定理是错的,那么椭圆曲线y^{2}=x\left(x-a^{n}\right)\left(x+b^{n}\right)将是谷山-志村猜想的一个反例。

同年,格哈德·弗赖的猜想随即被肯尼斯·阿兰·黎贝证实。此猜想显示了费马大定理与椭圆曲线及模形式的密切关系。

1995年,英国人安德鲁·怀尔斯和理查·泰勒在一特例范围内证明了谷山志村猜想,弗赖的椭圆曲线刚好在这一特例范围内,从而证明了费马大定理。

事实上,怀尔斯证明费马大定理的过程亦极具“戏剧性”。他用了七年时间,在不为人知的情况下,得出了证明的大部分;然后于1993年6月在一个学术会议上宣布了他的证明,并瞬即成为世界头条。但在审批证明的过程中,专家发现了一个极严重的错误。怀尔斯和泰勒之后用了近一年时间尝试补救,终在1994年9月用了一个之前怀尔斯曾经抛弃过的方法得到成功,这部分的证明与岩泽理论有关。他们的证明刊登在1995年的《数学年刊》(Annals of Mathematics)之上。

洒家也有一篇论文,发表在1994年的《数学年刊》(Annals of Mathematics)之上。


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