謝謝您的評論。

是的。我也這麼看。

事實上，即使在樸素集合論里，{x,y,z}, {{x},{y},{z}},{{x,y,z}} 均為不同的集合。這本身就是層級語義的體現。

從數學的角度，把“理髮師={理髮師的顧客}”是合理的。如果羅素看到這個定義，他也許不是說那段話。

其實，說到底，羅素悖論是個語義層級的問題。

換句話說，元素和元素所屬的集合，不在一個層級。因此，你不可以問“一個元素屬不屬於自身”這樣的問題。

謝謝。您是對的。

"However, Russell denied that the Barber's paradox was an instance of his own:"

https://en.wikipedia.org/wiki/Barber_paradox

不對。

理髮師和常人的區別是什麼？

常人沒有顧客，理髮師有顧客。一個會理髮，但零顧客的理髮師與常人無異。

換句話說，理髮師={理髮師的顧客}。因此，在“理髮師悖論”的語境裡，理髮師不是個體的人，而是一群人的集合。

https://en.wikipedia.org/wiki/Barber_paradox

"眼亮的看官，也許已經發現，羅素悖論其實是古希臘“理髮師悖論”的一般化。換句話說，理髮師悖論只是羅素悖論的一個特例。"

羅素本人不認為“理髮師悖論是羅素悖論的一個特例，”因為羅素悖論的核心概念是“一個集合是它本身的成員”，而理髮師悖論沒用該概念。

“普通數學書中提到的是‘樸素集合論’，數理邏輯討論的都應是公理化的理論系統，例如“證明論”，“遞歸函數論”，“模型論”，“公理化集合論’。”

是的。

（1）一個理論系統的建立，首先要證明它是“協調的”系統，否則悖論百出。上述諸位建立的集合論都是不協調的系統。

（2）正像數學有初等數學與高等數學一樣，數理邏輯書本涉及的內容與水準也千差萬別。普通數學書中提到的是”樸素集合論”，不是“數理邏輯理論”里的集合論，“數理邏輯理論”討論的都應是“公理化”的理論系統，例如“證明論”，“遞歸函數論”，“模型論”，“公理化集合論”。提一下，有史以來 shoenfield 的 "mathematical logic"是一本被稱為里程碑的高水平的著作。我為培養優秀學生，給復旦計算機科學系二下年級的學生，用了此書的前四章，上了一學期課。我對有學生提問老師的教材很薄，是否還能推薦其它一本邏輯書”，我回答說：“

a）此shoenfield 的四章教材里，找不到一句話是可除去的廢話，b）你們的考試能獲得60分以上， 到其他大學同樣的課程能當老師".

學生沉默不說話。以後，有學生對我說，沒假。本科生的真真質量在於他們學習時， 實際使用了什麼教材 （當然老師能解答學生的所有提問）。 這與是否是常春藤大學無關。www.modtosoft.com

除了語言歧義之外，集合公理系統在所有方面都可以等同於數學公理系統。這個語言歧義就是集合與元素的歧義。即便是歧義，至今為止，人們也只發現了一種極端情況歧義問題。

舉一個最直觀的例子。我們可以把水果的集合想像成一個含有所有水果的籃子。現在的問題是，除了蘋果香蕉之外，“所有水果”本身是否也是水果呢？ 這要看您怎樣定義水果了。如果把籃子（集合）也看成水果（元素），那麼所有水果是可以當成水果的。

雖然說數學上籃子是一個無形的抽象概念。但是物理世界卻不容許把水果籃子當成水果。