证明根号2是个无理数

雨斤

前文（· 牛河梁上的神秘数字）侃了，√2是人类认识的第一个无理数。

早在公元前500年左右，毕达哥拉斯的学生希帕索斯，就发现边长为1的正方形的对角线长度，是一个不能用整数或分数来表达的数。

然而，毕达哥拉斯学派顽固的认为“万物皆数”，世界上只有整数和分数（有理数）。而希帕索斯的发现显然动摇了这一理念，令该学派感到恐慌。有传言说，希帕索斯最后被自己的老师毕达哥拉斯判了死刑，丢到了爱琴海里溺水而亡。

洒家今天就来给列位看官通俗的证明一下：根号2确实是个无理数。

假若√2是个有理数的话，那么它就应该可以写成p/q的形式，

√2 = p/q

其中，p 和 q 是自然数，并且p 和 q 是互质的，也就是二者没有大于1的公因子。因此，

p = √2q

p² = 2q²

这说明，p² 是个偶数。

引理一     若一个整数的平方为偶，则该整数本身为偶。（证明见下）

根据引理一，p 必须也是个偶数。可以假定 p = 2k，从而 4k² = p² = 2q²，q² = 2k²。可见，q²是个偶数。再援引一次引理一，所以q也为偶数。既然p 和 q 都是偶数，则它们必定至少有一个大于1的公因子：2 。如此p 和 q便不互质啦。这就违背了我们当初的假设。

下面来看引理一的证明：每个正整数都可以分解成若干个素因子之积。

p = p₁p₂p₃ ...p_n

我们知道，素数里只有2是个偶数，其余皆为奇数。

p² = (p₁p₂p₃ ...p_n)(p₁p₂p₃ ...p_n)

因此，如果p²的素因子里面不包含2，那么p的素因子里面也必然不包含2。所以，某数平方为偶，则本身为偶。

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