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被老师扔进海里的人 2020-07-24 17:13:28

证明根号2是个无理数

雨斤

前文(· 牛河梁上的神秘数字)侃了,√2是人类认识的第一个无理数。

早在公元前500年左右,毕达哥拉斯的学生希帕索斯,就发现边长为1的正方形的对角线长度,是一个不能用整数或分数来表达的数。

然而,毕达哥拉斯学派顽固的认为“万物皆数”,世界上只有整数和分数(有理数)。而希帕索斯的发现显然动摇了这一理念,令该学派感到恐慌。有传言说,希帕索斯最后被自己的老师毕达哥拉斯判了死刑,丢到了爱琴海里溺水而亡。

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洒家今天就来给列位看官通俗的证明一下:根号2确实是个无理数。

假若√2是个有理数的话,那么它就应该可以写成p/q的形式,

√2 = p/q

其中,p 和 q 是自然数,并且p 和 q 是互质的,也就是二者没有大于1的公因子。因此,

p = √2q

p2 = 2q2

这说明,p2 是个偶数。

引理一     若一个整数的平方为偶,则该整数本身为偶。(证明见下)

根据引理一,p 必须也是个偶数。可以假定 p = 2k,从而 4k2 = p2 = 2q2,q2 = 2k2。可见,q2是个偶数。再援引一次引理一,所以q也为偶数。既然p 和 q 都是偶数,则它们必定至少有一个大于1的公因子:2 。如此p 和 q便不互质啦。这就违背了我们当初的假设。

下面来看引理一的证明:每个正整数都可以分解成若干个素因子之积。

p = p1p2p3 ...pn

我们知道,素数里只有2是个偶数,其余皆为奇数。

p2 = (p1p2p...pn)(p1p2p3 ...pn)

因此,如果p2的素因子里面不包含2,那么p的素因子里面也必然不包含2。所以,某数平方为偶,则本身为偶。

海外原创,版权所有。未经作者同意,请勿转载。


浏览(8089) (5) 评论(12)
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文章评论
作者:雨斤 回复 木桩 留言时间:2020-07-26 14:29:33

谢谢木桩博的评语。您太客气了。

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作者:雨斤 回复 Laober 留言时间:2020-07-26 14:28:47

谢谢Laober老朋友的支持。

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作者:木桩 留言时间:2020-07-25 23:47:17

赞雨斤先生对 2^(1/2)是无理数的证明,非常清楚的思路。

先生用的是反证法,然后推出矛盾, 敬佩,学习了!

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作者:Laober 留言时间:2020-07-25 21:47:21

又一篇精美典故加数学推导。大赞!

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作者:Laober 留言时间:2020-07-25 21:45:17

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作者:Laober 留言时间:2020-07-25 21:43:21

又一篇精美典故加数学推导。大赞!

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作者:Laober 留言时间:2020-07-25 21:41:25

又一篇精美典故加数学推导。大赞!

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作者:Laober 留言时间:2020-07-25 21:39:22

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作者:Laober 留言时间:2020-07-25 21:37:36

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作者:Laober 留言时间:2020-07-25 21:35:37

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作者:Laober 留言时间:2020-07-25 21:33:46

又一篇精美典故加数学推导。大赞!

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作者:Laober 留言时间:2020-07-25 21:31:45

又一篇精美典故加数学推导。大赞!

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