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跑马圈地的效率 2020-11-05 13:21:32

三角形的围率问题

雨斤

平面几何图形的面积与周长之比,通常被称为“围率”。有人也戏称其为“跑马圈地的热效率”。因为你骑马跑的路程越长,马流的汗越多,圈的地就应该越多。

围率 = 面积/周长

从地图上看,在中国的34个省份中,围率最低的恐怕要数甘肃省了。

只有一个参数的图形,围率很好计算。比如,圆形的围率是其半径的一半;正方形的围率是其边长的四分之一。因此,围率等于1的圆形只有一个:当半径等于2时。围率等于1的正方形也只有一个:当边长为4时。

利用丢番图方程求解可以得知,非正方形(长宽不等)的矩形,围率等于1的也只有一个:当长宽分别为6和3时。

三角形的问题就不是一目了然的了。

为简便计,我们只考虑边长为正整数的三角形。

思考题一

在三条边的边长均为正整数的三角形中,有没有哪个三角形的面积等于它的周长?如有,有多少个?是无限多个,还是有限多个?如果是有限多个,请列出每一个的边长和面积。

请证明你的结论。

思考题二

在三条边的边长均为正整数的直角三角形中,有没有哪个三角形的面积等于它的周长?如有,有多少个?是无限多个,还是有限多个?如果是有限多个,请列出每一个的边长和面积。

请证明你的结论。


答案稍后公布。

海外原创, 版权所有, 未经作者雨斤同意, 请勿转载!


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文章评论
作者:雨斤 回复 gugeren 留言时间:2020-11-07 10:58:31

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作者:gugeren 留言时间:2020-11-06 22:26:35

(6,25,29),(7,15,20),(9,10,17)

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作者:gugeren 回复 雨斤 留言时间:2020-11-06 20:37:45

先谢谢雨斤兄了!

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作者:雨斤 回复 gugeren 留言时间:2020-11-06 19:49:36

一个小提示:

4(x+y+z) = xyz, 假定 x<y<z (小于或等于,符号打字打不出来)

然后逐一考虑x = 1, x = 2, x = 3 ; 。。。

很容易证明当 x > 2 时,上述丢番图方程无解。如此,只剩下求解


4+4(y+z) = yz (1)

4+2(y+z) = yz (2)


(1)有三组解(三个非直角三角形),(2)有两组解(两个直角三角形)。


思考题一的答案:共有五个三角形的面积等于周长。

思考题二的答案:共有两个直角三角形的面积等于周长。


周末愉快!



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作者:gugeren 回复 gugeren 留言时间:2020-11-06 19:04:53

题的第一部分的进一步的结果:

三条边长之和是12的倍数【需证明是3的倍数】;

而且

1】其中一条边长是偶数,其余两边边长是奇数;

2】三边边长都是偶数。

三边边长之间的关系还需发现。


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作者:gugeren 留言时间:2020-11-06 10:40:27

题的第一部分的初步结果:

1】三条边长之和是4的倍数;

2】其中一条边长是2的倍数,其余两边边长是奇数;

3】三边边长都是2的倍数。


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作者:雨斤 回复 gugeren 留言时间:2020-11-06 09:01:54

(9,10,17)

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作者:gugeren 留言时间:2020-11-06 08:54:07

【修改和补充第一部分证明】


令p=s-a,q=s-b,r=s-c,有

p*q*r=4s,p+q+r=s,即p*q*r=4(p+q+r) (1)

利用算术平均与几何平均之间的关系,有

(4p*4q*4r)^(1/3) ≤ 1/3(4p+4q+4r),(2)

64(p*q*r) ≤ 64/27(p+q+r)^3 【即对(2)两边都取立方】(3)

(p*q*r) ≤ 1/27(p+q+r)^3 (4)

已知(4)当且仅当p=q=r时,等号成立,即

s-a = s-b = s-c,或a=b=c。

但当a=b=c时,三角形为正三角形,其各边长都是4√3,不符合题意。


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作者:雨斤 回复 gugeren 留言时间:2020-11-06 08:14:23

好,这下对了。佩服兄的韧劲!


下面该考虑一般情形了。


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作者:gugeren 回复 雨斤 留言时间:2020-11-06 07:58:21

哈,临门一脚有错:

由勾股数(a,b,c)的性质:

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8B%BE%E8%82%A1%E6%95%B0

https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple#Generating_a_triple

可写作 (m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2)的形式 (m>n) (1)

可使得

a^2 + b^2 = c^2 (2)

又据题意有

a+b+c=a*b/2 (3)

把(1)代入(3),并化简,得

n(m-n)=2 (4)

1】n=1,m-n=2,故m=3, n=1,得到(a,b,c)=(6,8,10);

2】n=2,m-n=1,故m=3,n=2,得到(a,b,c)=(5,12,13)。

即有上述两种情况:

(a,b,c)=(6,8,10),(5,12,13)。


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作者:gugeren 留言时间:2020-11-06 07:44:56

【补第一部分证明】

令p=s-a,q=s-b,r=s-c,有

p*q*r=4s,p+q+r=2s,即p*q*r=2(p+q+r) (1)

利用算术平均与几何平均之间的关系,有

(2p*2q*2r)^(1/3) ≤ 1/3(2p+2q+2r),(2)

8(p*q*r) ≤ 8/27(p+q+r)^3 【即对(2)两边都取立方】(3)

(p*q*r) ≤ 1/27(p+q+r)^3 (4)

已知(4)当且仅当p=q=r时,等号成立,即

s-a = s-b = s-c,或a=b=c。


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作者:雨斤 回复 gugeren 留言时间:2020-11-06 07:43:57

不对的。


我可以再给你一个直角三角形:(5,12,13)。

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作者:gugeren 留言时间:2020-11-05 22:14:48

【修改】

由勾股数(a,b,c)的性质:

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8B%BE%E8%82%A1%E6%95%B0

https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple#Generating_a_triple

可写作 (m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2)的形式 (m>n) (1)

可使得

a^2 + b^2 = c^2 (2)

又据题意有

a+b+c=a*b/2 (3)

把(1)代入(3),并化简,得

n(m-n)=2 (4)

据题意,m和n都是正整数,故仅有n=1,m=3这种情况,亦即雨斤兄给出的

(6,8,10)这一种情况。


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作者:gugeren 回复 雨斤 留言时间:2020-11-05 21:15:39

由勾股数(a,b,c)的性质:

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8B%BE%E8%82%A1%E6%95%B0

https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple#Generating_a_triple

可写作 (m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2)的形式 (m>n) (1)

可使得

a^2 + b^2 = c^2 (2)

又据题意有

a+b+c=a*b/2 (3)

把(1)代入(2)和(3),并化简,得

n(m-n)=2 (4)

据题意,m和n都是正整数,故仅有n=1,m=3这种情况,亦即雨斤兄给出的

(6,8,10)这一种情况。



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作者:雨斤 回复 Laober 留言时间:2020-11-05 19:04:36

谢谢二位的参与。

我这会儿人在外面,明天公布答案和证明。

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作者:gugeren 回复 Laober 留言时间:2020-11-05 18:38:56

simplification:

a*b = 4(a+b-2)

But I couldn't solve it.


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作者:gugeren 回复 Laober 留言时间:2020-11-05 18:37:13

Why "set a=1"?

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作者:Laober 留言时间:2020-11-05 18:18:58

唉呀,雨斤兄!

我错在哪里?


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作者:Laober 留言时间:2020-11-05 18:14:32

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作者:雨斤 回复 gugeren 留言时间:2020-11-05 18:10:42

直角三角形之一:a=6, b=8, c=10.

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作者:gugeren 留言时间:2020-11-05 17:52:43

结论:

无论是一般三角形,或直角三角形,符合题意的三角形(即其三边周长的数值与面积相等)都不存在。

证明:利用海伦(Heron)公式。

设半周长s=1/2(a+b+c),一般的三角形面积的平方是s(s-a)(s-b)(s-c),其周长的平方是4*s^2。

两者如相等,化简,得

(s-a)(s-b)(s-c)=4s (1)

当三角形为正三角形时,(1)为

(√3/4)*a^2 = 3a (2) 此处a是正三角形的边长。

解得a=4√3。

亦即当a=b=c=4√3时,三角形面积或周长的数值有极小值12√3。

但4√3不是正整数。当a、b和c取正整数时,等号将不成立。

同时,也证明了不存在题设所求的直角三角形。

==

请雨斤博主指教。

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