(6,25,29),(7,15,20),(9,10,17)

先谢谢雨斤兄了！

一个小提示：

4(x+y+z) = xyz, 假定 x<y<z (小于或等于，符号打字打不出来)

然后逐一考虑x = 1, x = 2, x = 3 ; 。。。

很容易证明当 x > 2 时，上述丢番图方程无解。如此，只剩下求解

4+4(y+z) = yz (1)

4+2(y+z) = yz (2)

(1)有三组解(三个非直角三角形)，(2)有两组解(两个直角三角形)。

思考题一的答案：共有五个三角形的面积等于周长。

思考题二的答案：共有两个直角三角形的面积等于周长。

周末愉快！

题的第一部分的进一步的结果：

三条边长之和是12的倍数【需证明是3的倍数】；

而且

1】其中一条边长是偶数，其余两边边长是奇数；

或

2】三边边长都是偶数。

三边边长之间的关系还需发现。

题的第一部分的初步结果：

1】三条边长之和是4的倍数；

或

2】其中一条边长是2的倍数，其余两边边长是奇数；

或

3】三边边长都是2的倍数。

(9，10，17)

【修改和补充第一部分证明】

令p=s-a,q=s-b,r=s-c，有

p*q*r=4s，p+q+r=s，即p*q*r=4(p+q+r) (1)

利用算术平均与几何平均之间的关系，有

(4p*4q*4r)^(1/3) ≤ 1/3(4p+4q+4r)，(2)

或

64(p*q*r) ≤ 64/27(p+q+r)^3 【即对(2)两边都取立方】(3)

或

(p*q*r) ≤ 1/27(p+q+r)^3 (4)

已知(4)当且仅当p=q=r时，等号成立，即

s-a = s-b = s-c，或a=b=c。

但当a=b=c时，三角形为正三角形，其各边长都是4√3，不符合题意。

好，这下对了。佩服兄的韧劲！

下面该考虑一般情形了。

哈，临门一脚有错：

由勾股数（a,b,c）的性质：

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8B%BE%E8%82%A1%E6%95%B0

https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple#Generating_a_triple

可写作 (m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2)的形式 (m>n) (1)

可使得

a^2 + b^2 = c^2 (2)

又据题意有

a+b+c=a*b/2 (3)

把(1)代入(3)，并化简，得

n(m-n)=2 (4)

故

1】n=1,m-n=2，故m=3, n=1，得到(a,b,c)=(6,8,10);

2】n=2,m-n=1,故m=3,n=2，得到(a,b,c)=(5,12,13)。

即有上述两种情况：

(a,b,c)=(6,8,10)，(5,12,13)。

【补第一部分证明】

令p=s-a,q=s-b,r=s-c，有

p*q*r=4s，p+q+r=2s，即p*q*r=2(p+q+r) (1)

利用算术平均与几何平均之间的关系，有

(2p*2q*2r)^(1/3) ≤ 1/3(2p+2q+2r)，(2)

或

8(p*q*r) ≤ 8/27(p+q+r)^3 【即对(2)两边都取立方】(3)

或

(p*q*r) ≤ 1/27(p+q+r)^3 (4)

已知(4)当且仅当p=q=r时，等号成立，即

s-a = s-b = s-c，或a=b=c。

不对的。

我可以再给你一个直角三角形：（5，12，13）。

【修改】

由勾股数（a,b,c）的性质：

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8B%BE%E8%82%A1%E6%95%B0

https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple#Generating_a_triple

可写作 (m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2)的形式 (m>n) (1)

可使得

a^2 + b^2 = c^2 (2)

又据题意有

a+b+c=a*b/2 (3)

把(1)代入(3)，并化简，得

n(m-n)=2 (4)

据题意，m和n都是正整数，故仅有n=1，m=3这种情况，亦即雨斤兄给出的

(6,8,10)这一种情况。

由勾股数（a,b,c）的性质：

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8B%BE%E8%82%A1%E6%95%B0

https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple#Generating_a_triple

可写作 (m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2)的形式 (m>n) (1)

可使得

a^2 + b^2 = c^2 (2)

又据题意有

a+b+c=a*b/2 (3)

把(1)代入(2)和(3)，并化简，得

n(m-n)=2 (4)

据题意，m和n都是正整数，故仅有n=1，m=3这种情况，亦即雨斤兄给出的

(6,8,10)这一种情况。

谢谢二位的参与。

我这会儿人在外面，明天公布答案和证明。

simplification:

a*b = 4(a+b-2)

But I couldn't solve it.

Why "set a=1"?

唉呀，雨斤兄！

我错在哪里？

直角三角形之一：a=6, b=8, c=10.

结论：

无论是一般三角形，或直角三角形，符合题意的三角形（即其三边周长的数值与面积相等）都不存在。

证明：利用海伦(Heron)公式。

设半周长s=1/2(a+b+c)，一般的三角形面积的平方是s(s-a)(s-b)(s-c)，其周长的平方是4*s^2。

两者如相等，化简，得

(s-a)(s-b)(s-c)=4s (1)

当三角形为正三角形时，(1)为

(√3/4)*a^2 = 3a (2) 此处a是正三角形的边长。

解得a=4√3。

亦即当a=b=c=4√3时，三角形面积或周长的数值有极小值12√3。

但4√3不是正整数。当a、b和c取正整数时，等号将不成立。

同时，也证明了不存在题设所求的直角三角形。

==

请雨斤博主指教。