無理的無理次力量（Power）

---無理也可以變有理

雨斤

定理  存在無理數a，和無理數b，使得a^b是個有理數。

證明: 取a = √2^√2， b = √2。很顯然，a^b = (√2^√2)^√2 = 2 是個有理數。

前文（·被老師扔進海里的人）已經證明了，b = √2是個無理數。所以，我們接下來只需證明a = √2^√2是個無理數，則定理證明就完成了。

為此，我們採用反證法。

假若a = √2^√2不是個無理數，那麼a = √2^√2就是個有理數了。可是，√2是個無理數。故而，我們就找到了一對無理數a,b, 使得a^b = = √2^√2是個有理數。

所以，不論a = √2^√2是有理數，還是無理數，我們都完成了定理的證明。

證明完畢。

注意，此定理只是說“存在一對無理數”。那麼，能不能具體給出一個例子呢？可以的。

為此，我們先證明Log₂(9) 是個無理數。 

假設相反，Log₂(9) = p/q，這裡的p和q都是正整數。那麼 2^(Log₂⁽⁹⁾⁾ = 9 = 2^(p/q).

也就是說， 9 = （2^p）^(1/q). 給兩邊同時升至q次方， 即得 9^q = 2^p. 很顯然，等式左邊是個奇數，而右邊則是個偶數。矛盾。

如此一來，（√2）^(Log₂⁽⁹⁾⁾就是一個無理數的無理數次方。 

但是，（√2）^(Log₂⁽⁹⁾⁾ = (2)^(1/2)·Log₂⁽⁹⁾  = 2^(Log₂^{(9)^(1/2)}) = 2^(Log₂⁽³⁾⁾ = 3.

海外獨家原創，版權所有。未經作者同意，請勿轉載。

思考題

√2^√2到底是個無理數，還是是個有理數呢？不論是或否，請證明你的結論。