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  饭饱生余事时常发呆立钩无饵三尺悬过直伤人,酒酣发癫狂偶尔抽风渭水有岸一愚顽太真伤己。
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无理的Power也可以变有理 2020-08-24 12:53:21

无理的无理次力量(Power)

---无理也可以变有理

雨斤

定理  存在无理数a,和无理数b,使得ab是个有理数。

证明: 取a = √2√2, b = √2。很显然,ab = (√2√2)√2 = 2 是个有理数。

前文(·被老师扔进海里的人)已经证明了,b = √2是个无理数。所以,我们接下来只需证明a = √2√2是个无理数,则定理证明就完成了。

为此,我们采用反证法。

假若a = √2√2不是个无理数,那么a = √2√2就是个有理数了。可是,√2是个无理数。故而,我们就找到了一对无理数a,b, 使得ab = = √2√2是个有理数。

所以,不论a = √2√2是有理数,还是无理数,我们都完成了定理的证明。

证明完毕。

unnamed.jpg

注意,此定理只是说“存在一对无理数”。那么,能不能具体给出一个例子呢?可以的。

为此,我们先证明Log2(9) 是个无理数。 

假设相反,Log2(9) = p/q,这里的p和q都是正整数。那么 2(Log2(9)) = 9 = 2(p/q).

也就是说, 9 = (2p(1/q). 给两边同时升至q次方, 即得 9q = 2p. 很显然,等式左边是个奇数,而右边则是个偶数。矛盾。

如此一来,(√2)(Log2(9))就是一个无理数的无理数次方。 

但是,(√2)(Log2(9)) = (2)(1/2)·Log2(9)  = 2(Log2(9)^(1/2)) = 2(Log2(3)) = 3.

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思考题

√2√2到底是个无理数,还是是个有理数呢?不论是或否,请证明你的结论。

浏览(7789) (1) 评论(3)
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文章评论
作者:老村长的8 留言时间:2020-08-25 02:22:59

要那么复杂吗?


sqrt(2)-sqrt(2)=0


嘻嘻

回复 | 1
作者:雨斤 回复 kkllyy 留言时间:2020-08-24 17:10:42

呵呵,确实有这种的。

回复 | 0
作者:kkllyy 留言时间:2020-08-24 15:48:55

对,就像有的欠别人钱不还的中国人会说:“谁让你借给我钱的,你难道不知道借钱给别人有风险吗?对不起我就是那个风险!”

回复 | 2
 
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