无理的无理次力量（Power）

---无理也可以变有理

雨斤

定理  存在无理数a，和无理数b，使得a^b是个有理数。

证明: 取a = √2^√2， b = √2。很显然，a^b = (√2^√2)^√2 = 2 是个有理数。

前文（·被老师扔进海里的人）已经证明了，b = √2是个无理数。所以，我们接下来只需证明a = √2^√2是个无理数，则定理证明就完成了。

为此，我们采用反证法。

假若a = √2^√2不是个无理数，那么a = √2^√2就是个有理数了。可是，√2是个无理数。故而，我们就找到了一对无理数a,b, 使得a^b = = √2^√2是个有理数。

所以，不论a = √2^√2是有理数，还是无理数，我们都完成了定理的证明。

证明完毕。

注意，此定理只是说“存在一对无理数”。那么，能不能具体给出一个例子呢？可以的。

为此，我们先证明Log₂(9) 是个无理数。 

假设相反，Log₂(9) = p/q，这里的p和q都是正整数。那么 2^(Log₂⁽⁹⁾⁾ = 9 = 2^(p/q).

也就是说， 9 = （2^p）^(1/q). 给两边同时升至q次方， 即得 9^q = 2^p. 很显然，等式左边是个奇数，而右边则是个偶数。矛盾。

如此一来，（√2）^(Log₂⁽⁹⁾⁾就是一个无理数的无理数次方。 

但是，（√2）^(Log₂⁽⁹⁾⁾ = (2)^(1/2)·Log₂⁽⁹⁾  = 2^(Log₂^{(9)^(1/2)}) = 2^(Log₂⁽³⁾⁾ = 3.

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思考题

√2^√2到底是个无理数，还是是个有理数呢？不论是或否，请证明你的结论。