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  饭饱生余事时常发呆立钩无饵三尺悬过直伤人,酒酣发癫狂偶尔抽风渭水有岸一愚顽太真伤己。
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真理有时候在学生手里 2020-10-07 09:23:32

人类该不该讨论无限?

雨斤

数学史上许多有争议的讨论,很快就上升到了哲学的高度。这是因为数学的本质,就是一种“应用哲学”(Applied Philosophy)。数学距离哲学,只有一步之遥,一墙之隔也。·怪不得牛顿晚年去干这事儿

数学史上,数学家们争吵的事情层出不穷,有些争论甚至闹出了人命。√2的发现,让聪敏的希腊小伙子希帕索斯丧了命,被自己的老师毕达哥拉斯派人装进袋子扔进了大海。这无疑是数学史上最早的一桩人命案。·被老师扔进海里的人

牛顿的“无穷小”概念,让数学家们打闹成了一锅粥。大主教贝克莱,曾把牛顿的“流数”攻击得体无完肤,称之为“已死量的幽灵”。在牛顿的文章中,这个“幽灵”一会儿是0,消失了;一会儿又不知从什么地方冒了出来。贝克莱质问:“无穷小量,究竟是否为0?”因为在牛顿的描述里,无穷小量在当时的实际应用中,既是0,又不是0。但从形式逻辑的角度看,这无疑是一个矛盾。直到后来柯西(Cauchy)等人,特别是维尔斯特拉斯(Weierstrass ),发明的“δ-ε”语言,才给了“极限”概念一个严格的定义。

再后来,康托尔(Cantor)的“朴素集合论”则把数学又一次推向了争论的深渊。

众所周知,一个有限集合有多少元素,不成问题。例如一个班级有多少人?班级的人数成为这个班级的“基数”或“势”,任何有限集都可以数出它的元素个数来。但是,如果问自然数有多少个?有理数有多少个?实数有多少个?谁能回答出来呢?康托尔的目的,就是要给这样的集合(也叫无穷集、无限集)进行“计数”,并且进而比较不同无限集合中元素的多少。如果你没有学过集合论,估计你回答不了这样的问题:“有理数集合与自然数集合,哪个集合所含的元素更多?”答案是:一样多,都为\aleph _{0}。呵呵,有点不可思议了吧?

集合论虽然已然成了现代数学的基石,但康托尔本人却经受了难以想象的煎熬。康托尔的老师克朗涅克尔(Kronecker)就猛烈攻击康托尔的工作,并竭力阻挠康托尔的晋升,不让康托尔在柏林大学获得职位。朗涅克尔说:“康托尔让数学走进了超穷数的地狱。” 

克朗涅克尔有一句名言:“上帝创造了正整数,其余的是人的工作。”他认为,人只能在正整数的有穷范围内研究。至于无穷的世界,则完全超乎人类的能力之外。他甚至不承认康托尔为他的学生。无休止的争吵使得康托尔心力交瘁,精神终于崩溃,于1918年1月6日在哈尔精神病疗养院逝世。唉,又是老师惹的祸!看来,不但“真理有时候在少数人手里”,而且“真理有时候并不在老师手里,而在学生手里”!

事实上,同样的观点,早在东周时的老子,也曾表达过。“道生一,一生二,二生三,三生万物”出自老子的《道德经》第四十二章,这句话其实就是老子的“宇宙生成论”。

老子李耳本是周朝的史官,负责图书馆、收藏室的工作。当时的收藏室相当于国家图书、档案、博物、珍宝等馆的综汇。不但收藏周武王前后的书籍、史料、珍宝,还收藏一百多个大小诸侯国的历史记载、上古遗书,各国的供奉,以及有关各氏族渊源的记载,大禹所制的九鼎和夏商遗物等。从事这份工作,使老子得以便捷地成为当时饱学多识的,“百科全书”式的人才,厚积薄发,为其日后写作《道德经》打下了严实的基础。

这里老子说到“一”、“二”、“三”,乃是指“道”创生万物的过程。主要讲述了一、二、三这几个数字,并不把一、二、三看作具体的事物和具体数量。它们只是表示“道”生万物从少到多,从简单到复杂的一个过程。所以,《淮南子·天文训》说:“道(曰规)始于一,一而不生,故分而为阴阳,阴阳合和而万物生。故曰:一生二,二生三,三生万物”

譬如下面这个序列,表面上看,和圆周率没有丝毫的关系。但是,列位看官可试试看,它的答案会让你大吃一惊。

思考题

设a1,a2,a3,...,an,...是一个正实数的数列,已知 :

a1a2 = 1

a2a3 = 2

a3a4 = 3

...

anan+1 = n

...

并且,lim(an/an+1) = 1,求a1 = ? 

欢迎列位看官跟帖作答。答案稍后公布。

恶心她妈夸恶心,好恶心!

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浏览(19695) (4) 评论(7)
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文章评论
作者:雨斤 回复 gugeren 留言时间:2020-10-08 21:34:57

完全正确!

回复 | 0
作者:gugeren 回复 little_red_man 留言时间:2020-10-08 21:01:20

【This is called Wallis product.】

有这个后门,就好做了:

a1 = √2/π【即(2/π)的平方根】

这大概不会错了?


回复 | 1
作者:little_red_man 留言时间:2020-10-08 20:20:28

This is called Wallis product.

回复 | 0
作者:雨斤 回复 莫烦59 留言时间:2020-10-08 12:44:44

哈哈哈哈,确实如此。谢谢斧正!

回复 | 0
作者:莫烦59 留言时间:2020-10-08 12:24:40

"无休止的争吵使得康托尔心力交瘁,精神终于崩溃,于1918年1月6日在哈尔精神病医院不幸逝世。"

看上去好像康托被迫害致死。康托1884年犯病,后来好了。1889年他创立了德国数学协会,被当选为第一任主席。他邀请他老师去大会发言,老师因其它原因没有去成。他老师1891过世;过了27年后他才过世。

回复 | 2
作者:雨斤 回复 gugeren 留言时间:2020-10-08 11:32:09

确实比较绕。

但相信你的实力,最终一定能解开的。

回复 | 0
作者:gugeren 留言时间:2020-10-08 10:18:21

还在绕;主要是还没有相处怎么变换成所需要的形式。

回复 | 0
 
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