天道运数：生命之数（一） 雨斤 诸葛亮曾言：“天道常变易，运数杳难寻”。 洒家今儿个一时兴起，就来帮大家寻找一个“天道运数”。 物理，化学里有很多著名的常数，但那些都是带有单位的。比如，万有引力常数g，声速s，光速c，阿伏伽德罗常数NA，等等。因此，这些称为“常量”更合适。如果单位变了，“常量”的数值也随之改变。 数学里的常数，那才是真正的“常数”。它没有单位，所以永远不变。比如，圆周率: π= 3.14159265358979...。 洒家今天要侃的这个天道运数，名叫“生命之数”，西人谓之"欧拉常数"： e＝2.7182818284590452353602874713527 (and forever more ...) 为什么说它是生命之数呢？因为它是用来描述宇宙万物生命繁殖现象的规律的。这也是为什么用它做底的对数ln(x)，叫“自然对数”。道法自然么！ 为了浅显易懂，存款利息的计算，就很能说明问题。 假定P是存款本金，r是年利率，n是一年付息的次数，头一次付息后的余额为： V = P(1 + r/n) 第二次付息后余额为： V = P(1 + r/n)^2 一年后余额为： V = P(1+r/n)^n 当你把一年内付息的次数不断增大，一月一次，一天一次，一小时一次，一秒一次，让n趋于无穷大，也就是“连续”付息时，一年的余额为： V = Pe^r 你看，此时的余额已经与付息次数无关了，只与本金和利率有关。原因就是微积分里这个著名的极限： 
钱生钱的道理，其实和生物繁殖是一个道理。用数学模式来描述任何有生命的物种的繁衍规律时，都离不开这个“生命之数” -- e ! 生物学家和经济学家对e这个符号绝不陌生。何故？生物学研究的是细胞生细胞的事儿，而经济学则研究的是钱生钱的事儿。 顺带指出，e还是个超越数。也就是说，任何代数运算产生不了它。 学过微积分的人都知道，这个数字，以及用它做底的对数函数，和用它做底的指数函数，在微积分里无处不在，如影相随。更为神奇的是, e^x的导数，竟然是自身。而且仅此一例。这说明人口学家早就提出的理论是对的：人口呈指数增长；人口增长的速度，和人口增长速度的速度，也就是通常人们所说的加速度，一样快。 德国数学家克朗涅克尔曾言：“上帝制造出了整数，其余（数字）均为人造。”看来，他此言差矣。谁敢说，圆周率和欧拉常数是人造的？ 不过，这话说起来容易，做（严格证明）起来难！ 证明一个数字是超越数，可不是一件容易的事情。事实上，仅仅证明世上还有超越数存在，都不容易。 1844年，法国人路易威尔首次证明世上有超越数存在。 1873年，额米特证明e是个超越数。 1882年，林德曼证明圆周率pi，也是个超越数。 1874年，集合论的创始人康托证明，代数数（非超越数）是可数的。也就是说，超越数比代数数多的海了去了！一切代数数的个数仅是Aleph-0，而全部超越数的个数是2^{Aleph-0}. 
看不明白的看官，慢慢看，别着急。庄子曰：“真人之息以踵，众人之息以喉。”功夫到了，自然就懂了。 |
