上图是一个俄军控制乌克兰领土面积百分比随时间变化的图表。有关此图表的来源，见本人上一篇博文。

根据此表可得一个俄乌战争的震荡函数

    X(t) = y0 + z0*(1 - exp(-sigma*t)*cos(omega*t))

这里

    X = 俄军控制乌克兰领土（%）

    y0 = 2022年2月以前俄军控制乌克兰领土，为7%，4万4千平方公里

    z0, omega, sigma = 战争震荡参数

根据2022俄乌战争爆发以来九个月的数据，战争震荡参数估计如下：

    震荡幅度z0约为10%，即6万平方公里。

    震荡周期约为 2pi/omega = 4个月。这里omega为攻守转换频率。

    衰减系数sigma约为0.15/月，即持续20个月衰减至20月前的5%。

【战争强度】俄乌战争的强度可以用瞬时振幅，即z0*exp(-sigma*t)，来度量。瞬时振幅代表了当下（本月）占领地易手的数量（%）。

如果俄乌双方在今后的军事力量（兵力武器装备等）投入基本平衡，则俄军控制乌克兰领土（%）的稳态值为 y0 + z0，即17%（控制10万平方公里）。

如果俄乌军事投入的平衡在时刻t1被打破，则震荡函数可修改为

    X(t) = y0 + z0*(1 - exp(-sigma*t)*cos(omega*t))  + f(t-t1)*u(t-t1)

这里

    f = 修正函数，与美国北约军援相关

    u = 阶梯函数

平衡破坏后，俄军控制领土的稳态值取决于修正函数f的形式。

【俄乌战争前景预测】

上述震荡函数给出了俄乌攻防与领土争夺的一个简单的数学模型。根据震荡函数的特性，如果乌军无法在今后四五个月内，平均每月夺回8千至1万平方公里的领土，则俄乌战争进入稳态之可能性极大。换句话说，只要俄军在冬季作战中不出类似哈尔科夫战役的“兵败如山倒”之状况，俄乌战争很有可能在明年春夏季转为较低强度的持久战。

进入持久战后的12-24个月内，模型的瞬时振幅（战争强度）跌至z0的0.5-3%，即俄乌双方每个月的占领地得失量在300-1800平方公里之间，于战争总局势影响不大。在这种情况下，俄乌之间的暂时停火协议就可能在打打谈谈的过程中达成，这是俄罗斯方面非常愿意看到的事，欧亚不少国家想必也乐观其成。届时，大规模的军事行动将会停止，小规模的游击战与爆破暗杀活动仍会继续。然而，俄军在此次战争获取的乌克兰领土（6万平方公里上下）将既成事实，尽管世界上大多数国家肯定不会承认，就像当年对克里米亚事件那样。

如果美国北约不想看到俄乌战争就此打住，将会对乌军提供新的军援与新的战法，俄罗斯也会做出相应的反应。军工复合体也要重新核算战争成本与回报率。由此，一个修正项f(t)将会在震荡函数中出现，俄乌战争的升级将不可避免。最后结果如何现在不好说，到时候再做分析。

无论如何，国土被分割，是泽林斯基政府强行将乌克兰加入北约入宪的惨痛代价。一个好端端的国家，其荣辱兴衰，往往就在一两个人瞬间做出选择时就决定了。此乃大国博弈与地缘政治中，一个不幸的和不可逆的历史过程。