上圖是一個俄軍控制烏克蘭領土面積百分比隨時間變化的圖表。有關此圖表的來源，見本人上一篇博文。

根據此表可得一個俄烏戰爭的震盪函數

    X(t) = y0 + z0*(1 - exp(-sigma*t)*cos(omega*t))

這裡

    X = 俄軍控制烏克蘭領土（%）

    y0 = 2022年2月以前俄軍控制烏克蘭領土，為7%，4萬4千平方公里

    z0, omega, sigma = 戰爭震盪參數

根據2022俄烏戰爭爆發以來九個月的數據，戰爭震盪參數估計如下：

    震盪幅度z0約為10%，即6萬平方公里。

    震盪周期約為 2pi/omega = 4個月。這裡omega為攻守轉換頻率。

    衰減係數sigma約為0.15/月，即持續20個月衰減至20月前的5%。

【戰爭強度】俄烏戰爭的強度可以用瞬時振幅，即z0*exp(-sigma*t)，來度量。瞬時振幅代表了當下（本月）占領地易手的數量（%）。

如果俄烏雙方在今後的軍事力量（兵力武器裝備等）投入基本平衡，則俄軍控制烏克蘭領土（%）的穩態值為 y0 + z0，即17%（控制10萬平方公里）。

如果俄烏軍事投入的平衡在時刻t1被打破，則震盪函數可修改為

    X(t) = y0 + z0*(1 - exp(-sigma*t)*cos(omega*t))  + f(t-t1)*u(t-t1)

這裡

    f = 修正函數，與美國北約軍援相關

    u = 階梯函數

平衡破壞後，俄軍控制領土的穩態值取決於修正函數f的形式。

【俄烏戰爭前景預測】

上述震盪函數給出了俄烏攻防與領土爭奪的一個簡單的數學模型。根據震盪函數的特性，如果烏軍無法在今後四五個月內，平均每月奪回8千至1萬平方公里的領土，則俄烏戰爭進入穩態之可能性極大。換句話說，只要俄軍在冬季作戰中不出類似哈爾科夫戰役的“兵敗如山倒”之狀況，俄烏戰爭很有可能在明年春夏季轉為較低強度的持久戰。

進入持久戰後的12-24個月內，模型的瞬時振幅（戰爭強度）跌至z0的0.5-3%，即俄烏雙方每個月的占領地得失量在300-1800平方公里之間，於戰爭總局勢影響不大。在這種情況下，俄烏之間的暫時停火協議就可能在打打談談的過程中達成，這是俄羅斯方面非常願意看到的事，歐亞不少國家想必也樂觀其成。屆時，大規模的軍事行動將會停止，小規模的游擊戰與爆破暗殺活動仍會繼續。然而，俄軍在此次戰爭獲取的烏克蘭領土（6萬平方公里上下）將既成事實，儘管世界上大多數國家肯定不會承認，就像當年對克里米亞事件那樣。

如果美國北約不想看到俄烏戰爭就此打住，將會對烏軍提供新的軍援與新的戰法，俄羅斯也會做出相應的反應。軍工複合體也要重新核算戰爭成本與回報率。由此，一個修正項f(t)將會在震盪函數中出現，俄烏戰爭的升級將不可避免。最後結果如何現在不好說，到時候再做分析。

無論如何，國土被分割，是澤林斯基政府強行將烏克蘭加入北約入憲的慘痛代價。一個好端端的國家，其榮辱興衰，往往就在一兩個人瞬間做出選擇時就決定了。此乃大國博弈與地緣政治中，一個不幸的和不可逆的歷史過程。