经过漫长的插叙之后，下面我们正式回到费马，来看看他和帕斯卡到底如何一起创造了【概率论】，以及这门学科给后世带来的，几乎延展到日常生活的每一个方面的深远影响。

其实早在远古，古希腊人就讨论过偶然性和必然性的问题。而事实上，现今生活中，我们也有着本能一般的能力，来判断某些事情到底发生与否----前提是这些事情存在“可能性”。

而这其实贯穿了我们日常活动中的很大一部分，比如，你在过马路时，看到远方有车辆驶来。那么，你便会根据车距、车速、马路的宽度、自己的行走速度等等，对安全与否有个大致的判断-----虽然这种直觉并不见的总是对的。

因此，人们对于【可能性事件】的研究，一直模糊不清，而有限的讨论也仅仅局限于哲学的范畴。直到1654年，当时的巴黎上流社会正盛行以娱乐为目的赌博游戏----其中有些成为了现在【博弈论】的一部分。

其中一名名叫安托瓦尼.贡博的梅雷骑士经人介绍认识了帕斯卡，然而他作为一个职业赌徒，正沉迷于一种点数游戏。顺便说一句，此人是路易十四宫廷的红人，也正因为此，帕斯卡对他的提问 也格外重视。他所喜欢的赌博游戏的规则有些类似于如今的24点，即哪个赌徒先得到一定的点数，则获胜得到全部赌金。

然而，贡博在一次赌博中，因为要务必须马上离开，那么赌局就被提前中断了。在这种情况下，如果把钱全部给那个点数最多的赌徒，大家都不满意。因为点数多并 不意味着这个人更容易赢。于是，贡博就把“如何更加公平合理的分配赌金”问题，留个了帕斯卡。因为他听说帕斯卡是个数学家，在那种年代，数学家在普通公众心中，大概类似于职业解题家的杂耍者。

帕斯卡在与费马的通信中谈到了这个问题，他俩都独立而迅速的发现，这个问题本身的解答并不太难。通过计算游戏所有的可能，并对每一种可能的结果推导出它出现的几率，然后根据这个几率来分配赌金，就可以完美的解决贡博骑士的难题。

然而，帕斯卡与费马的互相交流，激起两人对问题进一步的挖掘。天才们很快意识到，对更复杂和更微妙的类似问题的解答，是非常有趣而有意义的。----这也正是数学家的一个特征，他们很难被一个特定的问题所满足，他们所追求的，正是具有【普遍意义】的答案。

很快，帕斯卡和费马就奠定了【组合分析】的基础，以及概率论中最重要的一个基本概念----【数学期望】。所谓组合分析，即找出做一件事情有多少种方法，或者某件事情发生有多少种可能。显然，它与概率论可以说是密不可分的。几乎所有的概率计算都要牵涉到组合数学。

帕斯卡在这样的计算中，大量运用了一个算术三角形----亦即我们所称的【杨辉三角形】。即

　                　 1

　　              1   1

　          　 1   2   1

　　        1   3   3   1

　   　  1   4   6   4   1

　　  1   5  10 10   5   1

这个三角形从头两行以后的各行，除了首尾的两个1，其他的数字都是由上一行左右相邻的两个数相加而得来。同时，它第n行中的数也就是(1+x)的n次方按二项式定理展开的系数。此三角形的应用非常广泛，其性质也非常奇妙。不少古人很早就知道了它，但独创性的把其运用到概率论中，帕斯卡是第一人，因而之后西方也以【帕斯卡三角形】（中国人又受不了了）命名它。----除开意大利人称其为【塔塔利亚三角形】

费马的工作则在于，他创造性的把赌徒获胜的概率(费马本人并未使用概率一词)和赌金相乘，得到的数字作为衡量一名赌徒的期望获得值----而这正是了现今我们所用的【数学期望】概念的雏形。

帕斯卡把这个概念曾记录在他的思想录里，并用来论证宗教信仰的价值：在他看来，

【哪怕通过虔诚的苦修而获得永恒幸福的概率非常小，但是永恒幸福本身的价值是无限大，所以宗教是值得人们信仰的】----

这理论本身不是严密的，然而帕斯卡心甘情愿的相信它。

和所有新生的学科一样，在得到高速发展的同时，概率论也得到了部分的质疑。1657年，惠更斯发表了《论赌博中的计算》，使得概率论系统进一步完善和被广大数学界所知。

然而，概率本身也带来了很多奇妙的----甚至于直觉相悖的结论----这就导致了当时的宗教法庭对这一理论持怀疑态度。三个世纪后，贝特兰罗素的一句调侃也许更为恰当描述了这种科学与直觉之间的矛盾：“我们怎么可以谈论【机会】的【规律】呢？机会不正是规律的对立面吗？”

最著名的例子之一就是生日悖论。它并非严格意义上的逻辑悖论，其本身并不能导致什么矛盾的结论----然而，它的结论，基于数学的理性的计算，与我们的感性认识，有着如此大的差距，以致于好多人一开始都无法相信它的正确性。

其中一种表述是：一个23人的房间中，有2个人同一天生日的可能性超过50％。那么也就是说，当有人跟你打赌一个足球场上（包括裁判）在内，有没有两人同 生日时，你一定要押肯定的那一边，赢面才会比较大。这个问题，凭直觉似乎是不正确的，区区23人的生日，放到一年365天这样的大区间里，撞车的几率应该 是小得可怜的23/365=6.3％。

更惊奇的是，在23人的时候，这个概率还只是略微大于50％，然而当人数增加到57人时，有两人生日相同的可能性已经达到97％，接近于必然了。具体的计 算方法有多种，以经典的组合分析为手段的话，我们往往考虑这类问题的反面----即23人中，没有两人同一天生日的概率。

具体的等式在此不再赘述，有兴趣的人可以作为一道趣味数学题。不少教科书上都有详细解答。但正确的答案和直觉之间的巨大差距，可以用下面一幅图来更直观的表示。

其中绿色的曲线，即表示在n人中，存在两人相同生日的概率。可见它的增长非常不平缓，随着n的增大----即人数的增加，概率会如直升机般飞速上升，到 了60左右已经就非常接近于1.0；呃；而蓝色的直线（图上稍有弯曲）表示我们直觉上的概率（是n的一次即线性函数），同时，它也表示，在n个人中，有人【与你同一天生日】的概率。它的上升速度相对就要平缓得多。

那么，为什么我们会有如此错觉的原因也就很明显了。人们在看到类似“有人生日相同”的问题时，总是下意识的替换为“与我生日相同”，那么其实处理的，就已然不是同一个问题，故有天壤之别。

而只有概率论，才能解开这种错误的面纱，并予以类似问题真正正确的理论支持。到了现代，这个分支的应用已经遍及我们日常生活的许多方面，生物及物理方面的 测量，银行及保险业的大量数据统计，等等。虽然这门学科的起源来自于一个卑微的问题，但正是这些微不足道的例子，导致了数学上许多学科的诞生，让天才和后 来的继承者们发现了其内部的深奥的，一般性原理。

除了奠定了概率论的基础，费马在解析几何和微积分领域也做出了开创性的伟大工作。然而，他在解析几何中创造的手法，和笛卡尔有本质的不同。这当然关系到两 人的哲学观。笛卡尔是一个实用主义者，他甚至觉得欧几里德几何中，那种依赖于图形的巧思般解法，是对想象力的一种浪费。----没错，笛卡尔是个激进的改革者，他批判了古希腊的几何。

因此，他把代数用于几何，完全是双方取长补短的一种手段，并且主要目的是用来创造一种具有【一般性】的方法，可以来批量解决作图问题和其他几何问题。其结 果是，这种混合，使得解析几何称为具有广阔开发前景的学科，但同时导致了包括牛顿在内的一些人的批评----虽然有些人也使用这个工具。不过此乃后话。

而费马这个纯朴的老实人，却不是这样。在他的小册子《平面和立体的轨迹引论》中，有这样的叙述：只要在最后的方程里出现了两个未知量，我们就能得到一个轨迹，并描绘出一条直线或者曲线。这比笛卡尔7年后的成果更加 直白，虽然费马并不使用负坐标。但在后面的例子充分显示费马完全理解坐标轴，他也允许它们做平移或旋转，以此来得到一些更加复杂的曲线方程。

费马在思想上，是古希腊几何的继承者。他借用韦达的代数解决几何方法，对阿波罗尼乌斯的几何，做了一种重新表述。在这一步上，费马的传统也许使他的解析几何不如笛卡尔那样有革命性，但他在之后的争论中再一次的显示了他的宽厚。

当笛卡尔发表了其《几何》之后，关于解析几何发现优先权的争论，就在当时的学界持续了将近十年。显然的，我们的神童帕斯卡等人支持费马，而德萨格等人则支持笛卡尔。笛卡尔这个人吵架是家常便饭，因而打嘴仗是相当了得。

他讽刺的称费马为极大和极小大臣----费马曾发表论文《求极大值和极小值的方法》并说费马欠了他的债。费马虽然有朋友帮他还击，但在1660年的一篇文章中，费马却宣称他是如此的佩服笛卡尔的天才，虽然后者的工作里有一些错误---费马所指出的并且确实如此，但他这些错误甚至比绝大部分人没有错误的工作，而更有价值。而以现代观点来看，费马在解析几何中的强调轨迹， 可以说是更超前于那个年代的天才火花。

而在几何的研究中，费马很自然的会遇到求切线、求最大值最小值等问题----而这些正是微积分的起源之一。但鉴于篇幅，我们把这些放到牛顿的章节中再详细叙述。

概率论、解析几何和微积分，任一方面的成果都足以让费马留名青史。然而，这些都还不是费马最热爱的，他最热爱----同时也是他最杰出---的领域就是“数学的皇后”，【算术】或者叫【数论】。