历史上有个哲学逻辑思维战胜数学证明的例子。

上过初中的人都知道，数分为有理数和无理数。只有在无理数被发现以后，实数轴才被填满，有了“密集性”，在此之前，它是千疮百孔的、断断续续的、不连贯的。

无理数的发现还有个动人的故事。为什么无理数被称为“无理”数？因为它太没有道理了。

无理数的发现，和勾股定理有关。在直角三角形中，直角边a、b和斜边c满足：a2+b2=c2，其中包着平方和开方运算，这样必然会出现对整数开方不尽的情况，约在4000多年以前，美索不达米亚人在计算边长为1的正方形的对角线长时，发现了无理数√2的存在，虽然没有给出严格定义，但擅长计算的他们采用递归法找到了一个无限接近√2的有理数，人们在楔形文字泥板中精确到小数点后1000000位。

大数学家毕达哥拉斯，是第一个用数学和逻辑思维方法证明了“勾股定理”的人。发现无理数的人，是他的弟子——希帕索斯。在求正方形的对角线时，希帕索斯发起了愁，这到底是个什么数？根据老师所讲：

“万数皆数”；

“1是所有数的生成元”；

“宇宙的一切都归结于整数和整数之比”。

既然能用合适的整数来表示对角线，那么，能否用两个整数比来描述呢？希帕索斯花了很长时间，一无所获。

接下来，希帕索斯利用毕达哥拉斯学派常用的方法——反证法，证明出了这个数字无法表示为两个整数之比：假设数为a=q/p，假设q、p是化为最简分数比后的整数，即q、p互素，根据勾股定理，a2=(q/p)2，化简为2p2=q2，从这个算式可以看出，q2是偶数，那么q也是偶数，q、p互素，所以p肯定是奇数；

如果q是偶数，则可以表示为q=2b(b是自然数)，带入2p2=q2中，得p2=2b2，那么，p2是偶数，p也一定是偶数，与上段结论矛盾。于是，√2不能表示成两个整数之比！

那么，这到底是什么数呢？除了整数和整数比(即分数)外，世上还有别的数吗？带着疑问，希帕索斯找到了老师毕达哥拉斯，谁知，看到推翻了“万物皆数”的观点后，毕达哥拉斯非但没有“江山代有才人出“的自豪，反而非常惊慌，担心学生的发现会动摇学派的根基，便将希帕索斯囚禁起来，最终残忍地将他丢进大海，这是数学史上的一个悲剧。

俗话说，没有不透风的墙，人们最终还是知道了这些数的存在。15世纪时，著名画家达·芬奇称之为”无理的数“。17世纪时，德国天文学家开普勒称之为”不可名状的数“，毕达哥拉斯学派的”无理“之举，夺去了希帕索斯的生命，为了纪念这位为真理献身的学者，人们把这种”不可公度比“的数称为 “无理数”，而像√2这种记法，最开始是由数学家笛卡尔提出的，沿用至今。